Решите уравнение 2sin^2x+4=3sqrt3sin(3п/2+x) укажите корни этого уравнения,принадлежащие отрезку [-5п/2,-п]

Корни уравнения: $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ . Корень на заданном отрезке: $-\frac{7\pi }{6}$ . ️ Шаг 1: Преобразование уравнения Используем формулу приведения для правой части уравнения: $\sin (\frac{3\pi }{2}+x)=-\cos x$ . Также выразим ${\sin }^{2}x$ через ${\cos }^{2}x$, используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $2(1-{\cos }^{2}x)+4=3\sqrt{3}(-\cos x)$ $2-2{\cos }^{2}x+4=-3\sqrt{3}\cos x$ $-2{\cos }^{2}x+3\sqrt{3}\cos x+6=0$ Умножим на $-1$ для удобства: $2{\cos }^{2}x-3\sqrt{3}\cos x-6=0$ ️ Шаг 2: Решение квадратного уравнения Пусть $t=\cos x$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем уравнение: $2t^2-3\sqrt{3}t-6=0$ Вычислим дискриминант: $D=(3\sqrt{3}{)}^2-4\cdot 2\cdot (-6)=27+48=75$ Находим корни: $t=\frac{3\sqrt{3}\pm \sqrt{75}}{4}=\frac{3\sqrt{3}\pm 5\sqrt{3}}{4}$ $t_1=\frac{8\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}$ $t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ Так как $2\sqrt{3}>1$ , корень $t_1$ не подходит по условию $\left|t\right|\le 1$. ️ Шаг 3: Нахождение общего решения Решим уравнение $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $x=\pm \arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=\pm (\pi -\frac{\pi }{6})+2\pi k$ $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ ️ Шаг 4: Отбор корней на отрезке $[-5\pi /2,-\pi ]$ Проверим корни для различных значений $k$:

1. Для $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ :
   • При $k=-1$: $x=\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{7\pi }{6}$ . Это значение входит в отрезок, так как $-2,5\pi \le -1,16\pi \le -\pi$.
   Для $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ :
   • При $k=0$: $x=-\frac{5\pi }{6}\approx -0,83\pi$ (не входит, больше $-\pi$). При $k=-1$: $x=-\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{17\pi }{6}\approx -2,83\pi$ (не входит, меньше $-2,5\pi$).

Ответ: а) $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{7\pi }{6}$ . Вы хотите разобрать метод отбора корней с помощью тригонометрической окружности или через двойное неравенство для этого примера?