Решите дробные рациональные уравнения: 1) x+8/x-10=x-2/x+4 2)150/x=25-x 3)x^2-10/x-2=3x/2-x 4)5x^2-34x+24/x-8=5x-2 5)(2x-21)(5x+8)/10x^2+21x+8=0 6)18/x^2-9+5/x+3=x/x-3 7)2/x^2-4+1/2x-4+7/2x^2+4x=0

Ответы к уравнениям: 1) -0,5, 2) 10 и 15, 3) -5, 4) -1, 5) 10,5, 6) -1, 7) 1 и -14. ️ Шаг 1: Решение уравнений 1–3

1. $\frac{x+8}{x-10}=\frac{x-2}{x+4}$
   Область допустимых значений (ОДЗ): $x\ne 10$ и $x\ne -4$.
   Используем основное свойство пропорции:
   $(x+8)(x+4)=(x-2)(x-10)$
   $x^2+4x+8x+32=x^2-10x-2x+20$
   $12x+32=-12x+20$
   $24x=-12x=-0,5$ $\frac{150}{x}=25-x$
   ОДЗ: $x\ne 0$. Умножим обе части на $x$:
   $150=25x-x^2$
   $x^2-25x+150=0$
   По теореме Виета: $x_1=10,x_2=15$. Оба корня подходят. $\frac{x^2-10}{x-2}=\frac{3x}{2-x}$
   ОДЗ: $x\ne 2$. Приведем к общему знаменателю, учитывая, что $2-x=-(x-2)$:
   $\frac{x^2-10}{x-2}=\frac{-3x}{x-2}$
   $x^2-10=-3x{x}^2+3x-10=0$
   Корни: $x_1=-5,x_2=2$. Корень $x=2$ не входит в ОДЗ. Ответ: -5.

️ Шаг 2: Решение уравнений 4–5

1. $\frac{5x^2-34x+24}{x-8}=5x-2$
   ОДЗ: $x\ne 8$.
   $5x^2-34x+24=(5x-2)(x-8)$
   $5x^2-34x+24=5x^2-40x-2x+16$
   $5x^2-34x+24=5x^2-42x+16$
   $8x=-8x=-1$ $\frac{(2x-21)(5x+8)}{10x^2+21x+8}=0$
   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
   Числитель: $2x-21=0x=10,5$ или $5x+8=0x=-1,6$.
   Знаменатель: $10x^2+21x+8=0$. Дискриминант $D={21}^2-4\cdot 10\cdot 8=441-320=121$.
   Корни знаменателя: $x=\frac{-21\pm 11}{20}$ , т.е. $x=-0,5$ и $x=-1,6$.
   Значение $x=-1,6$ исключается из ОДЗ. Ответ: 10,5.

️ Шаг 3: Решение уравнений 6–7

1. $\frac{18}{x^2-9}+\frac{5}{x+3}=\frac{x}{x-3}$
   ОДЗ: $x\ne \pm 3$. Общий знаменатель: $(x-3)(x+3)$.
   $18+5(x-3)=x(x+3)$
   $18+5x-15=x^2+3x{x}^2-2x-3=0$
   Корни: $x_1=3,x_2=-1$. Корень $x=3$ не подходит по ОДЗ. Ответ: -1. $\frac{2}{x^2-4}+\frac{1}{2x-4}+\frac{7}{2x^2+4x}=0$
   Разложим знаменатели: $(x-2)(x+2)$, $2(x-2)$, $2x(x+2)$. ОДЗ: $x\ne 0,\pm 2$.
   Общий знаменатель: $2x(x-2)(x+2)$.
   $2\left(2x\right)+1\left(x\right(x+2\left)\right)+7(x-2)=0$
   $4x+x^2+2x+7x-14=0$
   $x^2+13x-14=0$
   Корни: $x_1=1,x_2=-14$. Оба подходят.

Ответ:

1. -0,5
2. 10; 15
3. -5
4. -1
5. 10,5
6. -1
7. 1; -14

Нужно ли проверить какое-то из решений с помощью подстановки или разобрать другой метод решения?