Tgx-2ctgx+1=0 решить уравнение

Для решения уравнения $\tan \left(x\right)-2\cot \left(x\right)+1=0$ воспользуемся определением котангенса через тангенс и приведем уравнение к квадратному виду. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Функции $\tan \left(x\right)$ и $\cot \left(x\right)$ должны быть определены, следовательно:

• $\cos \left(x\right)\ne 0⟹x\ne \frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $\sin \left(x\right)\ne 0⟹x\ne \pi k,k\in \mathbb{Z}$
  Объединяя условия: $x\ne \frac{\pi k}{2}$ .

2. Преобразование уравнения Заменим $\cot \left(x\right)$ на $\frac{1}{\tan \left(x\right)}$ : $\tan \left(x\right)-\frac{2}{\tan \left(x\right)}+1=0$ Умножим всё уравнение на $\tan \left(x\right)$ (с учетом ОДЗ, $\tan \left(x\right)\ne 0$): ${\tan }^2\left(x\right)+\tan \left(x\right)-2=0$3. Решение квадратного уравнения Пусть $t=\tan \left(x\right)$. Получаем уравнение: $t^2+t-2=0$Найдем корни через дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$ $t=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}$ Корни для $t$:

1. $t_1=\frac{2}{2}=1$ $t_2=\frac{-4}{2}=-2$

4. Обратная подстановка Теперь найдем значения $x$ для каждого случая: Случай 1: $\tan \left(x\right)=1$ $x=\arctan \left(1\right)+\pi n$ $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\tan \left(x\right)=-2$ $x=-\arctan \left(2\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ Все полученные корни входят в ОДЗ.

$x_1=\frac{\pi }{4}+\pi n$
$x_2=-\arctan \left(2\right)+\pi k$
где $n,k\in \mathbb{Z}$.

Я могу составить для вас аналогичное тригонометрическое уравнение для практики или помочь с разбором другой математической задачи.