Решите уравнение 4sin^2x - 4cosx - 1= 0 sin^2x - 0,5sin2x= 0 sin2x + sin6x = cos2x

Для решения данных тригонометрических уравнений воспользуемся методами замены переменной, разложения на множители и тригонометрическими тождествами. ️ Шаг 1: Решение первого уравнения Уравнение: $4{\sin }^{2}x-4\cos x-1=0$. Используем основное тождество ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $4(1-{\cos }^{2}x)-4\cos x-1=04-4{\cos }^{2}x-4\cos x-1=0$ $-4{\cos }^{2}x-4\cos x+3=04{\cos }^{2}x+4\cos x-3=0$ Пусть $t=\cos x$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $4t^2+4t-3=0$ $D=16-4\cdot 4\cdot \left(-3\right)=16+48=64$ $t_1=\frac{-4+8}{8}=0.5$ $t_2=\frac{-4-8}{8}=-1.5$ (не подходит, так как $\left|t\right|\le 1$) $\cos x=0.5x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ ️ Шаг 2: Решение второго уравнения Уравнение: ${\sin }^{2}x-0.5\sin 2x=0$. Применим формулу двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$: ${\sin }^{2}x-0.5\left(2\sin x\cos x\right)=0{\sin }^{2}x-\sin x\cos x=0$ Вынесем общий множитель за скобки: $\sin x(\sin x-\cos x)=0$

1. $\sin x=0x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $\sin x-\cos x=0\tan x=1x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

️ Шаг 3: Решение третьего уравнения Уравнение: $\sin 2x+\sin 6x=\cos 2x$. Применим формулу суммы синусов $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ : $2\sin \frac{2x+6x}{2}\cos \frac{6x-2x}{2}=\cos 2x2\sin 4x\cos 2x=\cos 2x$ Перенесем всё в одну сторону и вынесем $\cos 2x$: $\cos 2x(2\sin 4x-1)=0$

1. $\cos 2x=02x=\frac{\pi }{2}+\pi kx=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ $2\sin 4x-1=0\sin 4x=0.5$
   $4x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi nx=(-1{)}^n\frac{\pi }{24}+\frac{\pi n}{4},n\in \mathbb{Z}$

Ответ:

1. $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$
2. $x=\pi k;x=\frac{\pi }{4}+\pi n$
3. $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2};x=(-1{)}^n\frac{\pi }{24}+\frac{\pi n}{4},k,n\in \mathbb{Z}$

Нужно ли отобрать корни на определенном промежутке для какого-либо из уравнений?