Решите уравнение 6cos^(2)x + 5sinx - 2 = 0. найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4$ - ].

Ответ: Корнями уравнения являются $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ и $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ , где $k\in \mathbb{Z}$. На отрезке $[-4\pi ,-3\pi ]$ корней нет. ️ Шаг 1: Преобразование уравнения к квадратному виду Используем основное тригонометрическое тождество ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, чтобы привести уравнение к одной переменной: $6(1-{\sin }^{2}x)+5\sin x-2=0$ $6-6{\sin }^{2}x+5\sin x-2=0$ $-6{\sin }^{2}x+5\sin x+4=0$Умножим на $-1$: $6{\sin }^{2}x-5\sin x-4=0$️ Шаг 2: Решение квадратного уравнения Пусть $\sin x=t$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем уравнение $6t^2-5t-4=0$. Вычислим дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 6\cdot (-4)=25+96=121={11}^2$Находим корни: $t_1=\frac{5+11}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$ $t_2=\frac{5-11}{12}=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}$ Так как $t_1=\frac{4}{3}>1$ , это значение не подходит для $\sin x$. ️ Шаг 3: Нахождение общих решений Решим уравнение $\sin x=-\frac{1}{2}$ : $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ ️ Шаг 4: Отбор корней на отрезке $[-4\pi ,-3\pi ]$ Проверим наличие корней на заданном промежутке. Отрезок $[-4\pi ,-3\pi ]$ соответствует верхней полуокружности тригонометрического круга (где $\sin x\ge 0$). Так как мы ищем точки, где $\sin x=-\frac{1}{2}$ (нижняя полуокружность), то на данном отрезке решений быть не может. Проверим аналитически:

1. Для $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ :
   При $k=-1$: $x=-\frac{13\pi }{6}\approx -2.16\pi$ (вне отрезка).
   При $k=-2$: $x=-\frac{25\pi }{6}\approx -4.16\pi$ (вне отрезка). Для $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ :
   При $k=-1$: $x=-\frac{17\pi }{6}\approx -2.83\pi$ (вне отрезка).
   При $k=-2$: $x=-\frac{29\pi }{6}\approx -4.83\pi$ (вне отрезка).

Ответ: $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ . На отрезке $[-4\pi ,-3\pi ]$ корней нет. Нужно ли помочь с отбором корней на другом интервале или разобрать другой тип тригонометрических уравнений?