Решите уравнение sin t =1/2 и неравенство sin t>-1/2

Для решения этих задач воспользуемся тригонометрическим кругом и основными формулами тригонометрии. 1. Решение уравнения $\sin t=\frac{1}{2}$ Синус отвечает за координату $y$ на единичной окружности. Нам нужно найти точки, в которых ордината равна $1/2$.

• На первом обороте $[0;2\pi ]$: Это углы $t=\frac{\pi }{6}$ ( ${30}^{\circ }$) и $t=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$ ( ${150}^{\circ }$). Общий вид решения: Учитывая периодичность синуса ( $2\pi k$), получаем две серии корней:
  1. $t=\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $t=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Компактная запись: $t=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 2. Решение неравенства $\sin t>-\frac{1}{2}$ Решить неравенство $\sin t>a$ — значит найти дугу окружности, которая лежит выше прямой $y=a$. Шаг 1: Нахождение граничных точек Сначала определим точки, где $\sin t=-\frac{1}{2}$ :

• Правая точка: $t_1=-\frac{\pi }{6}$ (удобнее брать отрицательное значение для записи интервала слева направо). Левая точка: $t_2=\pi -(-\frac{\pi }{6})=\frac{7\pi }{6}$ .

Шаг 2: Определение интервала Так как нам нужно $\sin t>-1/2$, нас интересует верхняя (большая) часть окружности, проходящая через верхнюю точку ( $y=1$). Движение по окружности всегда идет против часовой стрелки: от меньшего значения к большему.

• Начало дуги: $-\frac{\pi }{6}$ Конец дуги: $\frac{7\pi }{6}$

Шаг 3: Запись общего решения Добавляем период $2\pi k$ к обеим границам интервала: $-\frac{\pi }{6}+2\pi k<t<\frac{7\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Итоговые ответы:

• Уравнение: $t=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Неравенство: $t\in (-\frac{\pi }{6}+2\pi k;\frac{7\pi }{6}+2\pi k),k\in \mathbb{Z}$

Я могу также составить таблицу значений тригонометрических функций для основных углов или решить аналогичные задачи с косинусом. Хотите продолжить?