Выяснить при каких значениях х производная функции принимает отрицательные значения f(x)=x^2-7x+10 f(x)=-3x^3+3x^2+4 f(x)=-x^2+4x f(x)=(1-3x)^3

Производная функции принимает отрицательные значения при следующих условиях:

1. Для $f\left(x\right)=x^2-7x+10$ при $x<3.5$. Для $f\left(x\right)=-3x^3+3x^2+4$ при $x\in (-\infty ;0)\cup (\frac{2}{3};+\infty )$ . Для $f\left(x\right)=-x^2+4x$ при $x>2$. Для $f\left(x\right)=(1-3x{)}^3$ при $x\ne \frac{1}{3}$ .

1. Вычисление производных функций Для решения задачи необходимо найти производную каждой функции, используя правила дифференцирования степени ( $x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ и сложной функции:

• Для $f\left(x\right)=x^2-7x+10$:
  $f^{\prime }\left(x\right)=2x-7$ Для $f\left(x\right)=-3x^3+3x^2+4$:
  $f^{\prime }\left(x\right)=-9x^2+6x$ Для $f\left(x\right)=-x^2+4x$:
  $f^{\prime }\left(x\right)=-2x+4$ Для $f\left(x\right)=(1-3x{)}^3$:
  $f^{\prime }\left(x\right)=3(1-3x{)}^2\cdot (1-3x{)}^{\prime }=3(1-3x{)}^2\cdot (-3)=-9(1-3x{)}^2$

2. Решение неравенств $f^{\prime }\left(x\right)<0$ Теперь определим интервалы, на которых полученные выражения меньше нуля:

1. $2x-7<0$
   $2x<7⟹x<3.5$ $-9x^2+6x<0$
   Разложим на множители: $3x(-3x+2)<0$. Корни уравнения: $x_1=0$, $x_2=\frac{2}{3}$ . График — парабола, ветви которой направлены вниз. Отрицательные значения лежат вне корней:
   $x\in (-\infty ;0)\cup (\frac{2}{3};+\infty )$ $-2x+4<0$
   $-2x<-4⟹x>2$ $-9(1-3x{)}^2<0$
   Выражение $(1-3x{)}^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x=\frac{1}{3}$ . Чтобы произведение с $-9$ было строго меньше нуля, квадрат должен быть строго больше нуля:
   $(1-3x{)}^2>0⟹x\ne \frac{1}{3}$

На графиках красным цветом выделены области, где производные соответствующих функций принимают отрицательные значения ( $f^{\prime }\left(x\right)<0$). Это соответствует интервалам убывания исходных функций. Ответ

1. Для первой функции $x\in (-\infty ;3.5)$. Для второй функции $x\in (-\infty ;0)\cup (\frac{2}{3};+\infty )$ . Для третьей функции $x\in (2;+\infty )$. Для четвертой функции $x\in (-\infty ;\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3};+\infty )$ .

Требуется ли вам дополнительно найти точки экстремума или критические точки для этих функций?