Решите уравнение x^4-x^3-3x^2+4x-4=0

Для решения уравнения четвертой степени $x^4-x^3-3x^2+4x-4=0$ воспользуемся методом разложения на множители. 1. Поиск целых корней Согласно теореме о рациональных корнях, кандидатами на роль целых корней являются делители свободного члена (числа $-4$): $\pm 1,\pm 2,\pm 4$. Проверим значение $x=2$: $2^4-2^3-3\left(2^2\right)+4\left(2\right)-4=16-8-12+8-4=0$Следовательно, $x_1=2$ является корнем уравнения. Проверим значение $x=-2$: $(-2{)}^4-(-2{)}^3-3(-2{)}^2+4(-2)-4=16+8-12-8-4=0$Следовательно, $x_2=-2$ также является корнем уравнения. 2. Деление многочлена Раз корни $x=2$ и $x=-2$ найдены, исходный многочлен делится на произведение $(x-2)(x+2)=x^2-4$. Выполним деление столбиком или методом подбора коэффициентов: $(x^2-4)(x^2+ax+b)=x^4-x^3-3x^2+4x-4$

1. Чтобы получить $x^4$, коэффициент при $x^2$ должен быть $1$. Чтобы получить $-4$, свободный член $b$ должен быть $1$ (так как $-4\cdot 1=-4$). Определим $a$, раскрыв скобки для члена $x^3$: $-4ax+x^2\left(ax\right)=a{x}^3$. В исходном уравнении имеем $-x^3$, значит $a=-1$.

Получаем разложение: $(x^2-4)(x^2-x+1)=0$3. Решение квадратного уравнения Теперь найдем корни уравнения $x^2-x+1=0$ через дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3$Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Найдем комплексные корни, используя мнимую единицу $i=\sqrt{-1}$ : $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{1\pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$ Таким образом, корни: $x_3=\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2},x_4=\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}$ Итоговый ответ: Уравнение имеет два действительных и два комплексных корня:

• $x_1=2$ $x_2=-2$ $x_3=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ $x_4=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$

Хотите, чтобы я проверил это решение подстановкой или графически интерпретировал поведение функции?