Решите уравнение.cosx+cos2x=0

Для решения уравнения $\cos \left(x\right)+\cos \left(2x\right)=0$ можно воспользоваться формулой суммы косинусов или методом подстановки через двойной угол. Рассмотрим оба способа. Способ 1: Использование тригонометрических формул Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \left(\alpha \right)+\cos \left(\beta \right)=2\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$ Применим её к нашему уравнению: $2\cos \left(\frac{x+2x}{2}\right)\cos \left(\frac{x-2x}{2}\right)=0$ $2\cos \left(\frac{3x}{2}\right)\cos (-\frac{x}{2})=0$ Так как косинус — четная функция ( $\cos (-\alpha )=\cos \left(\alpha \right)$), получаем: $2\cos \left(\frac{3x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)=0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\cos \left(\frac{3x}{2}\right)=0$
   $\frac{3x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Умножим на $\frac{2}{3}$ :
   $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}$ $\cos \left(\frac{x}{2}\right)=0$
   $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Умножим на $2$:
   $x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Способ 2: Квадратное уравнение Используем формулу двойного угла: $\cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right)-1$. Подставим в исходное уравнение: $\cos \left(x\right)+2{\cos }^2\left(x\right)-1=0$ $2{\cos }^2\left(x\right)+\cos \left(x\right)-1=0$Пусть $t=\cos \left(x\right)$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2+t-1=0$ $D=1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$ $t_1=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{-1-3}{4}=-1$ Обратная замена:

1. $\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}⟹x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $\cos \left(x\right)=-1⟹x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: Оба способа дают идентичный набор точек на числовой окружности. Записать ответ можно в виде:

• $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$
• $x=\pi +2\pi n$
  (где $n\in \mathbb{Z}$)

Или одной общей формулой из первого способа: $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}$ , так как при разных $n$ этот ряд включает в себя все корни, включая $\pi +2\pi k$. Хотите, чтобы я отобрал корни этого уравнения на конкретном числовом промежутке?