X²-8x-2√(x²-8x) -3=0

Для решения уравнения $x^2-8x-2\sqrt{x^2-8x}-3=0$ выполните следующие шаги: 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2-8x\ge 0$Корни уравнения $x(x-8)=0$ — это $0$ и $8$. Методом интервалов получаем: ОДЗ: $x\in (-\infty ;0]\cup [8;+\infty )$ 1.2.15. 2. Введение замены переменной Пусть $\sqrt{x^2-8x}=t$ , где $t\ge 0$ (так как корень не может быть отрицательным). Тогда $x^2-8x=t^2$. 3. Решение вспомогательного уравнения Подставим $t$ в исходное уравнение: $t^2-2t-3=0$ Решим это квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета 1.3.1:

• $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16=4^2$ $t_1=\frac{2+4}{2}=3$ $t_2=\frac{2-4}{2}=-1$

Так как по условию замены $t\ge 0$, корень $t_2=-1$ не подходит 1.2.4. 4. Обратная замена Вернемся к переменной $x$ с учетом $t=3$: $\sqrt{x^2-8x}=3$ Возведем обе части в квадрат: $x^2-8x=9$ $x^2-8x-9=0$5. Поиск окончательных корней Решим полученное уравнение 1.3.7:

• $D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot (-9)=64+36=100={10}^2$ $x_1=\frac{8+10}{2}=9$ $x_2=\frac{8-10}{2}=-1$

6. Проверка по ОДЗ Оба полученных значения входят в область допустимых значений ( $9\ge 8$ и $-1\le 0$). Ответ: $-1;9$.