Sin альфа + cos альфа =?

Выражение $\sin \alpha +\cos \alpha$ не имеет одного фиксированного числового значения, так как оно зависит от угла $\alpha$. Однако в тригонометрии существует стандартный метод преобразования этой суммы в одну функцию (синус или косинус) с помощью введения вспомогательного угла. 1. Преобразование через вспомогательный угол Чтобы упростить выражение, можно использовать формулу: $a\sin \alpha +b\cos \alpha =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\alpha +\varphi )$ В данном случае коэффициенты $a=1$ и $b=1$.

• Находим амплитуду: $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ . Выносим $\sqrt{2}$ за скобки:
  $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha +\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha )$ Заменяем коэффициенты на значения синуса и косинуса угла ${45}^{\circ }$ ( $\frac{\pi }{4}$ ):
  $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}\sin \alpha +\sin \frac{\pi }{4}\cos \alpha )$ Применяем формулу синуса суммы:
  $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})$

2. Возведение в квадрат Если это выражение встречается в уравнении, его часто возводят в квадрат, чтобы использовать основное тригонометрическое тождество: $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2={\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha$Поскольку ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, а $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha$, получаем: $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=1+\sin 2\alpha$Отсюда следует, что сама сумма равна: $\sin \alpha +\cos \alpha =\pm \sqrt{1+\sin 2\alpha }$ 3. Диапазон значений Так как итоговая функция выглядит как $\sqrt{2}\sin (\alpha +{45}^{\circ })$ , а область значений синуса лежит в пределах от $-1$ до $1$, то:

• Минимальное значение: $-\sqrt{2}$ (при $\alpha =\frac{5\pi }{4}+2\pi n$ ) Максимальное значение: $\sqrt{2}$ (при $\alpha =\frac{\pi }{4}+2\pi n$ )

Резюме Наиболее распространенный вид записи: $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\sin (\alpha +{45}^{\circ })$ или $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\cos (\alpha -{45}^{\circ })$ Я могу составить таблицу значений этого выражения для основных углов ( $0^{\circ },{30}^{\circ },{45}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$), если вам это необходимо для расчетов.