Sin x*cos y=0 cos x*sin y=-1

Для решения системы уравнений:

1. $\sin x\cos y=0$ $\cos x\sin y=-1$

1. Анализ первого уравнения Из уравнения $\sin x\cos y=0$ следует, что либо $\sin x=0$, либо $\cos y=0$. Рассмотрим оба случая. 2. Случай I: $\sin x=0$ Если $\sin x=0$, то $x=\pi n$, где $n\in \mathbb{Z}$. При таком значении $x$:

• $\cos x$ может быть равен либо $1$ (если $n$ четное), либо $-1$ (если $n$ нечетное).

Подставим это во второе уравнение: $\cos x\sin y=-1$.

• Если $\cos x=1$ (т.е. $x=2\pi k$):
  $1\cdot \sin y=-1⟹\sin y=-1⟹y=-\frac{\pi }{2}+2\pi m$ . Если $\cos x=-1$ (т.е. $x=\pi +2\pi k$):
  $-1\cdot \sin y=-1⟹\sin y=1⟹y=\frac{\pi }{2}+2\pi m$ .

3. Случай II: $\cos y=0$ Если $\cos y=0$, то $y=\frac{\pi }{2}+\pi k$ , где $k\in \mathbb{Z}$. При таком значении $y$:

• $\sin y$ может быть равен либо $1$, либо $-1$.

Подставим это во второе уравнение: $\cos x\sin y=-1$.

• Если $\sin y=1$:
  $\cos x\cdot 1=-1⟹\cos x=-1⟹x=\pi +2\pi n$. Если $\sin y=-1$:
  $\cos x\cdot \left(-1\right)=-1⟹\cos x=1⟹x=2\pi n$.

4. Объединение результатов Заметим, что оба случая приводят к одним и тем же парам решений. Их можно сгруппировать следующим образом:

1. Первая группа решений:
   $x=2\pi k$ $y=-\frac{\pi }{2}+2\pi m$ (Здесь $\sin x=0,\cos x=1$ и $\sin y=-1,\cos y=0$) Вторая группа решений:
   $x=\pi +2\pi k$ $y=\frac{\pi }{2}+2\pi m$ (Здесь $\sin x=0,\cos x=-1$ и $\sin y=1,\cos y=0$)

Итоговый ответ: Эти две группы можно записать компактно, заметив связь между четностью коэффициента при $\pi$ у переменной $x$ и знаком перед $\frac{\pi }{2}$ у переменной $y$: $\{\begin{array}{c}x=\pi k\\ y=-\frac{\pi }{2}+\pi k+2\pi m\end{array}$ где $k,m\in \mathbb{Z}$. Или в развернутом виде:

• $(2\pi k;-\frac{\pi }{2}+2\pi m)$ $(\pi +2\pi k;\frac{\pi }{2}+2\pi m)$

Я могу проверить эти решения на принадлежность конкретному числовому промежутку, если это необходимо.