В круг вписан прямоугольник. радиус круга равен r. при каких размерах прямоугольника его площадь будет наибольшей

Наибольшую площадь имеет вписанный прямоугольник, являющийся квадратом со сторонами $\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{r}\sqrt{\mathbf{2}}$ и $\mathbf{b}\mathbf{=}\mathbf{r}\sqrt{\mathbf{2}}$ . Шаг 1: Составление функции площади Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Поскольку прямоугольник вписан в окружность, его диагональ совпадает с диаметром этой окружности, который равен $2r$. По теореме Пифагора связь между сторонами и радиусом выражается формулой: $a^2+b^2=(2r{)}^{2}b=\sqrt{4r^2-a^2}$ Площадь прямоугольника $S$ как функция от одной переменной $a$ принимает вид: $S\left(a\right)=a\cdot \sqrt{4r^2-a^2}$ Шаг 2: Нахождение производной и критических точек Для поиска экстремума найдем производную функции $S\left(a\right)$ по переменной $a$: $S^{\prime }\left(a\right)=\sqrt{4r^2-a^2}+a\cdot \frac{-2a}{2\sqrt{4r^2-a^2}}=\frac{4r^2-a^2-a^2}{\sqrt{4r^2-a^2}}=\frac{4r^2-2a^2}{\sqrt{4r^2-a^2}}$ Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $4r^2-2a^2=0a^2=2r^{2}a=r\sqrt{2}$ Шаг 3: Расчет второй стороны и вывод Найдем значение стороны $b$ при полученном $a$: $b=\sqrt{4r^2-(r\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4r^2-2r^2}=\sqrt{2r^2}=r\sqrt{2}$ Так как $a=b=r\sqrt{2}$ , прямоугольник является квадратом. Проверка знака производной подтверждает, что в этой точке достигается максимум площади. Ответ: Площадь будет наибольшей при размерах сторон прямоугольника $a=r\sqrt{2}$ и $b=r\sqrt{2}$ . Нужно ли вам доказательство через тригонометрические функции или расчет максимального значения площади?