Sin(x+3/2п)-cos(4(x-3/2п))=0

Для решения уравнения $\sin (x+\frac{3\pi }{2})-\cos \left(4\right(x-\frac{3\pi }{2}\left)\right)=0$ воспользуемся формулами приведения и тригонометрическими преобразованиями. 1. Упрощение аргументов (Формулы приведения) Сначала упростим каждое слагаемое по отдельности:

• Для синуса:
  $\sin (x+\frac{3\pi }{2})=-\cos \left(x\right)$
  (По правилам приведения: угол находится в IV четверти, где синус отрицателен, функция меняется на косинус). Для косинуса:
  $\cos \left(4\right(x-\frac{3\pi }{2}\left)\right)=\cos (4x-6\pi )$
  Так как период косинуса равен $2\pi$, то $6\pi$ можно отбросить:
  $\cos (4x-6\pi )=\cos \left(4x\right)$

Теперь уравнение принимает вид: $-\cos \left(x\right)-\cos \left(4x\right)=0$ $\cos \left(4x\right)+\cos \left(x\right)=0$ 2. Преобразование суммы косинусов в произведение Используем формулу $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ : $2\cos \frac{4x+x}{2}\cos \frac{4x-x}{2}=0$ $2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}=0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\cos \frac{5x}{2}=0$ $\cos \frac{3x}{2}=0$

3. Решение отдельных уравнений Случай 1: $\cos \frac{5x}{2}=0$ $\frac{5x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Умножим обе части на $2$: $5x=\pi +2\pi k$ Разделим на $5$: $x=\frac{\pi }{5}+\frac{2\pi k}{5}$ Случай 2: $\cos \frac{3x}{2}=0$ $\frac{3x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Умножим обе части на $2$: $3x=\pi +2\pi n$ Разделим на $3$: $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{5}+\frac{2\pi k}{5};x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3};k,n\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь с отбором корней этого уравнения на конкретном числовом промежутке, если это необходимо.