Составить уравнение касательной и нормали к графику функции y=2x-x^2 в точке x0=3

Уравнение касательной имеет вид $y=-4x+9$, а уравнение нормали — $y=0.25x-3.75$. ️ Шаг 1: Нахождение координаты точки касания по оси ординат Для составления уравнений необходимо знать значение функции $f\left(x\right)=2x-x^2$ в заданной точке $x_0=3$. Подставим значение $x_0$ в исходное выражение: $y_0=f\left(3\right)=2\left(3\right)-3^2=6-9=-3$Таким образом, точка касания имеет координаты $(3,-3)$. ️ Шаг 2: Вычисление производной и углового коэффициента Угловой коэффициент касательной $k_{tan}$ равен значению производной функции в точке $x_0$. Найдем производную: $f^{\prime }\left(x\right)=(2x-x^2{)}^{\prime }=2-2x$Теперь вычислим значение производной в точке $x_0=3$: $k_{tan}=f^{\prime }\left(3\right)=2-2\left(3\right)=2-6=-4$️ Шаг 3: Составление уравнения касательной Используем общую формулу уравнения касательной $y-y_0=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$. Подставим найденные значения: $y-\left(-3\right)=-4(x-3)$ $y+3=-4x+12$ $y=-4x+9$ ️ Шаг 4: Составление уравнения нормали Нормаль перпендикулярна касательной, поэтому ее угловой коэффициент $k_{norm}=-\frac{1}{f^{\prime }\left(x_0\right)}$ . $k_{norm}=-\frac{1}{-4}=0.25$ Уравнение нормали имеет вид $y-y_0=k_{norm}(x-x_0)$: $y-\left(-3\right)=0.25(x-3)$ $y+3=0.25x-0.75$ $y=0.25x-3.75$ Ответ: Касательная: $y=-4x+9$ Нормаль: $y=0.25x-3.75$ Хотите выполнить проверку через построение графика функции и полученных прямых или перейти к расчету точек пересечения?