Найти все первообразные функции f(x)=2x+x^3

Для нахождения всех первообразных функции $f\left(x\right)=2x+x^3$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от данной функции. Математическое обоснование Общий вид первообразной для функции $f\left(x\right)$ записывается как: $F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx$При нахождении первообразной мы используем два основных правила интегрирования:

1. Интеграл суммы: Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций.
2. Степенное правило: Для любого $n\ne -1$ справедливо выражение:
   $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Пошаговое решение

1. Запишем неопределенный интеграл:
   $\int (2x+x^3)dx$ Разложим на сумму интегралов и вынесем константу:
   $2\int x^{1}dx+\int x^{3}dx$ Применим степенное правило к каждому слагаемому:
   • Для $2x$: $2\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}=2\cdot \frac{x^2}{2}=x^2$ Для $x^3$: $\frac{x^{3+1}}{3+1}=\frac{x^4}{4}$
   Суммируем результаты и добавляем произвольную постоянную $C$:
   $F\left(x\right)=x^2+\frac{x^4}{4}+C$

Ответ Все первообразные функции $f\left(x\right)=2x+x^3$ имеют вид: $F\left(x\right)=\frac{x^4}{4}+x^2+C$ , где $C\in \mathbb{R}$. Хотите, чтобы я проверил правильность результата путем дифференцирования полученной функции или нашел частную первообразную, проходящую через заданную точку?