\sqrt{12+x}-\sqrt{1-x}=1

Для решения уравнения $\sqrt{12+x}-\sqrt{1-x}=1$ необходимо выполнить следующие шаги: 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

• $12+x\ge 0⟹x\ge -12$ $1-x\ge 0⟹x\le 1$

Таким образом, ОДЗ: $x\in [-12,1]$. 2. Возведение в квадрат Перенесем один из корней в правую часть для удобства вычислений: $\sqrt{12+x}=1+\sqrt{1-x}$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{12+x}{)}^2=(1+\sqrt{1-x}{)}^2$ $12+x=1+2\sqrt{1-x}+(1-x)$ Упростим выражение: $12+x=2-x+2\sqrt{1-x}$ $2x+10=2\sqrt{1-x}$ Разделим обе части на 2: $x+5=\sqrt{1-x}$ 3. Повторное возведение в квадрат Перед возведением в квадрат учтем, что левая часть должна быть неотрицательной ( $x+5\ge 0⟹x\ge -5$): $(x+5{)}^2=(\sqrt{1-x}{)}^2$ $x^2+10x+25=1-x$Приведем к квадратному уравнению: $x^2+11x+24=0$4. Решение квадратного уравнения Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней $x_1+x_2=-11$ Произведение корней $x_1\cdot x_2=24$

Корни уравнения: $x_1=-3$ $x_2=-8$ 5. Проверка корней Сопоставим полученные значения с ОДЗ и условием $x\ge -5$:

1. Для $x=-3$:
   • Входит в ОДЗ ( $[-12,1]$). Проверка: $\sqrt{12-3}-\sqrt{1-\left(-3\right)}=\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$ . (Подходит)
2. Для $x=-8$:
   • Входит в ОДЗ ( $[-12,1]$). Проверка: $\sqrt{12-8}-\sqrt{1-\left(-8\right)}=\sqrt{4}-\sqrt{9}=2-3=-1$ . (Не подходит, так как $-1\ne 1$) Примечание: Этот корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию $x+5\ge 0$.

Ответ: $x=-3$. Я могу также решить это уравнение методом замены переменной, если это необходимо.