Точки максимума функции y=2x3+3x2-1

Для нахождения точек максимума функции необходимо исследовать её производную и определить знаки на полученных интервалах. 1. Нахождение производной функции Используем правила дифференцирования для функции $y=2x^3+3x^2-1$: $y^{\prime }=(2x^3{)}^{\prime }+(3x^2{)}^{\prime }-(1{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=6x^2+6x$2. Определение критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю: $6x^2+6x=0$Вынесем общий множитель за скобки: $6x(x+1)=0$Отсюда получаем два корня:

1. $6x=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ $x+1=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}-1$

3. Исследование знаков производной Разделим числовую прямую на интервалы точками $-1$ и $0$ и определим знак $y^{\prime }$ на каждом из них:

• Интервал $(-\infty ;-1)$: Возьмем $x=-2$.
  $y^{\prime }\left(-2\right)=6(-2{)}^2+6(-2)=24-12=12>0$ (функция возрастает). Интервал $(-1;0)$: Возьмем $x=-0.5$.
  $y^{\prime }\left(-0.5\right)=6\left(0.25\right)+6\left(-0.5\right)=1.5-3=-1.5<0$ (функция убывает). Интервал $(0;+\infty )$: Возьмем $x=1$.
  $y^{\prime }\left(1\right)=6(1{)}^2+6(1)=12>0$ (функция возрастает).

4. Определение точки максимума Точка максимума — это точка, при переходе через которую производная меняет знак с плюса на минус (возрастание сменяется убыванием).

• В точке $x=-1$ знак меняется с $+$ на $-$. Следовательно, это точка максимума. В точке $x=0$ знак меняется с $-$ на $+$. Следовательно, это точка минимума.

Ответ: Точкой максимума функции является $x=-1$. Если вам необходимо найти также значение функции в этой точке, я могу вычислить $y\left(-1\right)$ для вас.