Решить уравнение: 6(sinx)квадрат-sinx=1

Для решения уравнения $6{\sin }^{2}x-\sin x=1$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение новой переменной Пусть $\sin x=t$. Так как значения синуса всегда лежат в пределах от $-1$ до $1$, накладываем ограничение: $\left|t\right|\le 1$. 2. Решение квадратного уравнения Подставим $t$ в исходное уравнение: $6t^2-t-1=0$Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-1{)}^2-4\cdot 6\cdot (-1)=1+24=25$ $\sqrt{D}=5$ Находим корни уравнения $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ :

• $t_1=\frac{1+5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{1-5}{12}=-\frac{4}{12}=-\frac{1}{3}$

Оба значения удовлетворяют условию $\left|t\right|\le 1$. 3. Обратная подстановка Теперь решим два простейших тригонометрических уравнения. Случай 1: $\sin x=\frac{1}{2}$ Это табличное значение. Решение записывается в виде: $x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Или в виде двух серий:

• $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$

Случай 2: $\sin x=-\frac{1}{3}$ Это не табличное значение, поэтому используем арксинус: $x=(-1{)}^k\cdot \arcsin (-\frac{1}{3})+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Учитывая, что $\arcsin (-a)=-\arcsin a$, можно записать: $x=(-1{)}^{k+1}\cdot \arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n$ ; $x=(-1{)}^{k+1}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+\pi k$ , где $n,k\in \mathbb{Z}$. Я могу помочь произвести отбор корней этого уравнения на определенном числовом промежутке, если это необходимо. Вы хотите, чтобы я это сделал?