Sinx+sin3x+cosx+cos3x=0

Для решения уравнения $\sin x+\sin 3x+\cos x+\cos 3x=0$ воспользуемся формулами суммы тригонометрических функций. 1. Группировка и применение формул суммы Сгруппируем синусы с синусами, а косинусы с косинусами: $(\sin 3x+\sin x)+(\cos 3x+\cos x)=0$Применим формулы:

• $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

Подставим значения ( $\alpha =3x,\beta =x$): $2\sin 2x\cos x+2\cos 2x\cos x=0$2. Вынесение общего множителя Вынесем за скобки общий множитель $2\cos x$: $2\cos x(\sin 2x+\cos 2x)=0$Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая: Случай А: $\cos x=0$ $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай Б: $\sin 2x+\cos 2x=0$Это однородное уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos 2x$ (заметим, что если $\cos 2x=0$, то и $\sin 2x$ должен быть равен $0$, что невозможно по основному тождественному свойству, поэтому деление корректно): $\frac{\sin 2x}{\cos 2x}+1=0$ $\text{tg}2x=-1$ $2x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2},n,k\in \mathbb{Z}$ Я могу выполнить отбор корней этого уравнения на заданном промежутке, если вы его предоставите.