Упростите выражение: корень 4 степени из ( 7 + √48)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{7+\sqrt{48}}$ необходимо последовательно преобразовать подкоренное выражение, чтобы избавиться от внешних радикалов. 1. Упрощение внутреннего корня Сначала упростим выражение $\sqrt{48}$ , вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$ Теперь исходное выражение выглядит так: $\sqrt[4]{7+4\sqrt{3}}$ 2. Преобразование выражения под корнем четвертой степени Заметим, что корень четвертой степени — это корень из корня квадратного: $\sqrt[4]{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{\sqrt{7+4\sqrt{3}}}$ Чтобы упростить внутренний квадратный корень $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ , попытаемся представить выражение $7+4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$. Пусть $2ab=4\sqrt{3}$ , тогда $ab=2\sqrt{3}$ . Предположим, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$ . Проверим сумму их квадратов: $a^2+b^2=2^2+(\sqrt{3}{)}^2=4+3=7$ Сумма квадратов совпадает с числом в нашем выражении. Значит: $7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^2$ 3. Извлечение корней Теперь подставим полученный результат обратно в выражение: $\sqrt{\sqrt{7+4\sqrt{3}}}=\sqrt{\sqrt{(2+\sqrt{3}{)}^2}}$ Так как $2+\sqrt{3}>0$ , корень и квадрат сокращаются: $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ 4. Финальное упрощение Чтобы довести упрощение до конца, применим тот же метод «выделения полного квадрата» к выражению $2+\sqrt{3}$ . Чтобы получить удобную форму $2ab$, умножим и разделим выражение под корнем на 2: $\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ Заметим, что $4+2\sqrt{3}$ также является полным квадратом: $4+2\sqrt{3}=3+2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}+1{)}^2$ Следовательно: $\frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1{)}^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$ : $\frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ Ответ: $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ Я могу помочь вам с решением других задач по алгебре или тригонометрии. Хотите разобрать еще один пример?