Упростите выражение (a^1/4+b^1/4)^2-(a^1/4-b^1/4)^2

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения. Выражение: $(a^{1/4}+b^{1/4}{)}^2-(a^{1/4}-b^{1/4}{)}^2$ Способ 1: Использование формулы разности квадратов Формула разности квадратов: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. В нашем случае: $x=a^{1/4}+b^{1/4}$ $y=a^{1/4}-b^{1/4}$ Применим формулу:

1. Вычислим разность $(x-y)$:
   $(a^{1/4}+b^{1/4})-(a^{1/4}-b^{1/4})=a^{1/4}+b^{1/4}-a^{1/4}+b^{1/4}=2b^{1/4}$ Вычислим сумму $(x+y)$:
   $(a^{1/4}+b^{1/4})+(a^{1/4}-b^{1/4})=a^{1/4}+b^{1/4}+a^{1/4}-b^{1/4}=2a^{1/4}$ Перемножим полученные результаты:
   $2b^{1/4}\cdot 2a^{1/4}=4a^{1/4}{b}^{1/4}$

Способ 2: Раскрытие квадратов суммы и разности Используем формулы $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$ и $(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2$.

1. Раскроем первую скобку:
   $(a^{1/4}+b^{1/4}{)}^2=(a^{1/4}{)}^2+2a^{1/4}{b}^{1/4}+(b^{1/4}{)}^2=a^{1/2}+2a^{1/4}{b}^{1/4}+b^{1/2}$ Раскроем вторую скобку:
   $(a^{1/4}-b^{1/4}{)}^2=(a^{1/4}{)}^2-2a^{1/4}{b}^{1/4}+(b^{1/4}{)}^2=a^{1/2}-2a^{1/4}{b}^{1/4}+b^{1/2}$ Вычтем второе выражение из первого:
   $(a^{1/2}+2a^{1/4}{b}^{1/4}+b^{1/2})-(a^{1/2}-2a^{1/4}{b}^{1/4}+b^{1/2})$
   $=a^{1/2}+2a^{1/4}{b}^{1/4}+b^{1/2}-a^{1/2}+2a^{1/4}{b}^{1/4}-b^{1/2}$ Приведем подобные слагаемые:
   $a^{1/2}-a^{1/2}=0$
   $b^{1/2}-b^{1/2}=0$
   $2a^{1/4}{b}^{1/4}+2a^{1/4}{b}^{1/4}=4a^{1/4}{b}^{1/4}$

Ответ: $4a^{1/4}{b}^{1/4}$ (или $4\sqrt[4]{ab}$ ) Укажите, требуется ли перевести итоговый результат в формат радикалов (корней) или оставить в виде степеней.