В кубе abcda1b1c1d1 все рёбра равны 3. на его ребре bb1 отмечена точка k так, что kb=2. через точки k и c1 проведена плоскость α, параллельная прямой bd1. а) докажите, что плоскость α проходит через середину ребра a1b1. б) найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани bb1c1c.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть точка $B$ — начало координат $(0,0,0)$. Оси направим следующим образом:

• Ось $Ox$ — вдоль ребра $BA$. Ось $Oy$ — вдоль ребра $BC$. Ось $Oz$ — вдоль ребра $B{B}_1$.

Координаты вершин куба при ребре, равном $3$: $B(0,0,0)$, $A(3,0,0)$, $C(0,3,0)$, $D(3,3,0)$, $B_1(0,0,3)$, $A_1(3,0,3)$, $C_1(0,3,3)$, $D_1(3,3,3)$. а) Доказательство

1. Координаты известных точек:
   • $K(0,0,2)$, так как $KB=2$ и точка лежит на $B{B}_1$. $C_1(0,3,3)$. Вектор $\overrightarrow{B{D}_1}=(3-0,3-0,3-0)=(3,3,3)$. Для удобства можно взять направляющий вектор $\vec{p}=(1,1,1)$.
2. Уравнение плоскости $\alpha$:
   Пусть уравнение плоскости $ax+by+cz+d=0$.
   • Плоскость проходит через $K(0,0,2)$: $2c+d=0d=-2c$. Плоскость проходит через $C_1(0,3,3)$: $3b+3c+d=0$. Подставим $d$: $3b+3c-2c=03b+c=0c=-3b$. Тогда $d=-2\left(-3b\right)=6b$. Плоскость параллельна прямой $B{D}_1$, значит, нормаль $\vec{n}(a,b,c)$ перпендикулярна вектору $\vec{p}(1,1,1)$:
     $\vec{n}\cdot \vec{p}=a+b+c=0$.
     Подставим $c=-3b$: $a+b-3b=0a=2b$.
   Итоговое уравнение:
   Пусть $b=1$, тогда $a=2$, $c=-3$, $d=6$.
   Уравнение плоскости $\alpha$: $2x+y-3z+6=0$. Проверка точки середины $A_1{B}_1$:
   Координаты середины $M$ ребра $A_1{B}_1$: $M(\frac{3+0}{2},\frac{0+0}{2},\frac{3+3}{2})=(1.5,0,3)$ .
   Подставим координаты $M$ в уравнение плоскости:
   $2\left(1.5\right)+0-3\left(3\right)+6=3-9+6=0$.
   Равенство верно, следовательно, плоскость $\alpha$ проходит через середину ребра $A_1{B}_1$. Что и требовалось доказать.

б) Нахождение угла наклона Угол наклона плоскости $\alpha$ к плоскости грани $B{B}_1{C}_{1}C$ — это угол между их нормалями (или дополнение до ${180}^{\circ }$).

1. Нормаль к плоскости $\alpha$:
   $\overrightarrow{n_1}=(2,1,-3)$. Нормаль к плоскости $B{B}_1{C}_{1}C$:
   Грань $B{B}_1{C}_{1}C$ лежит в плоскости $Oyz$, её уравнение $x=0$.
   Следовательно, нормаль $\overrightarrow{n_2}=(1,0,0)$. Вычисление косинуса угла $\varphi$:
   $\cos \varphi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}$ $|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|=|2\cdot 1+1\cdot 0+(-3)\cdot 0|=2$ $\left|\overrightarrow{n_1}\right|=\sqrt{2^2+1^2+(-3{)}^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$ $\left|\overrightarrow{n_2}\right|=1$ $\cos \varphi =\frac{2}{\sqrt{14}}$ Результат:
   $\varphi =\arccos \left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right)=\arccos \left(\frac{\sqrt{14}}{7}\right)$ .

Ответ: $\arccos \frac{\sqrt{14}}{7}$ . Я могу также помочь с расчетом расстояния от любой вершины куба до этой плоскости или найти площадь сечения, если это потребуется.