В трапеции с большим основанием a расстояние между серединами диагоналей равно b. чему равно меньшее основание трапеции?

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами средней линии трапеции и отрезков, соединяющих середины её сторон и диагоналей. Геометрическое обоснование Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a$ (большее) и $BC=x$ (меньшее, которое нам нужно найти).

1. Пусть $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Отрезок $MN$ является средней линией трапеции. По её свойству:
   $MN=\frac{a+x}{2}$ Средняя линия трапеции проходит через середины её диагоналей. Пусть $P$ — середина диагонали $AC$, а $Q$ — середина диагонали $BD$. По условию задачи расстояние между ними $PQ=b$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MP$ является его средней линией (так как $M$ — середина $AB$, а $P$ — середина $AC$). Следовательно:
   $MP=\frac{BC}{2}=\frac{x}{2}$ Аналогично рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $MQ$ является его средней линией (так как $M$ — середина $AB$, а $Q$ — середина $BD$). Следовательно:
   $MQ=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}$

Вывод формулы Из чертежа и расположения точек на средней линии $MN$ видно, что отрезок $PQ$ можно выразить как разность отрезков $MQ$ и $MP$: $PQ=MQ-MP$Подставим известные значения в это уравнение: $b=\frac{a}{2}-\frac{x}{2}$ Теперь выразим искомое меньшее основание $x$:

1. Умножим обе части уравнения на 2:
   $2b=a-x$ Перенесем $x$ в левую часть, а $2b$ в правую:
   $x=a-2b$

Ответ: Меньшее основание трапеции равно $a-2b$. Хотите, чтобы я решил аналогичную задачу, где известны оба основания, а нужно найти длину отрезка между серединами диагоналей?