Найти площадь сечения куба abcda1b1c1d1 плоскостью, проходящей через вершины a,d1 и середину ребра bb1, если ребро куба равно а.

Площадь сечения куба $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $D_1$ и середину ребра $B{B}_1$, равна $\frac{\mathbf{9}{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{8}}$ . ️ Шаг 1: Построение сечения и определение его вида Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $A{A}_1$. Тогда координаты заданных точек: $A(0,0,0)$, $D_1(0,a,a)$ и середина ребра $B{B}_1$ — точка $M(a,0,\frac{a}{2})$ . Плоскость пересекает грань $ABCD$ по прямой $AM$, а грань $AD{D}_1{A}_1$ по прямой $A{D}_1$. Проведем в плоскости $B_1{C}_1{D}_1{A}_1$ прямую, параллельную $AM$, через точку $D_1$. Эта прямая пересечет ребро $B_1{C}_1$ в точке $N(a,\frac{a}{2},a)$ . Соединив точки $M$ и $N$, мы получим сечение $AM{D}_{1}N$. Поскольку $A{D}_1\parallel MN$ (векторы $\overrightarrow{A{D}_1}=(0,a,a)$ и $\overrightarrow{MN}=(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2})$ коллинеарны), сечение является трапецией. ️ Шаг 2: Нахождение длин сторон трапеции Найдем длины оснований и боковых сторон трапеции $AM{D}_{1}N$:

1. Основание $A{D}_1=\sqrt{0^2+a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ . Основание $MN=\sqrt{0^2+(\frac{a}{2}{)}^2+(\frac{a}{2}{)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Боковая сторона $AM=\sqrt{a^2+0^2+(\frac{a}{2}{)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ . Боковая сторона $D_{1}N=\sqrt{a^2+(-\frac{a}{2}{)}^2+0^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ .

Так как боковые стороны равны, сечение — равнобедренная трапеция. ️ Шаг 3: Вычисление высоты и площади трапеции Высоту $h$ равнобедренной трапеции найдем по формуле $h=\sqrt{A{M}^2-(\frac{A{D}_1-MN}{2}{)}^2}$ : $h=\sqrt{(\frac{a\sqrt{5}}{2}{)}^2-(\frac{a\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{2}}{2}}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{4}-(\frac{a\sqrt{2}}{4}{)}^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{4}-\frac{2a^2}{16}}=\sqrt{\frac{20a^2-2a^2}{16}}=\sqrt{\frac{18a^2}{16}}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}$ Теперь вычислим площадь $S$: $S=\frac{A{D}_1+MN}{2}\cdot h=\frac{a\sqrt{2}+\frac{a\sqrt{2}}{2}}{2}\cdot \frac{3a\sqrt{2}}{4}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{3a\sqrt{2}}{4}=\frac{9\cdot 2\cdot a^2}{16}=\frac{9a^2}{8}$ Ответ: \frac{9a^2}{8} Требуется ли вам построение чертежа этого сечения или координатный метод нахождения угла между плоскостями?