Найдите высоту прямоугольной трапеции abcd, если известо что ёё площадь равна 120 кв мм, меньшее основание bc - 4 мм, боковая cd- 17 мм, а высота eh треугольника cde равна 7 1/17 мм

Question

Найдите высоту прямоугольной трапеции abcd, если известо что ёё площадь равна 120 кв мм, меньшее основание bc - 4 мм, боковая cd- 17 мм, а высота eh треугольника cde равна 7 1/17 мм

SilenceZack 22.01.2026 01:18

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Высота прямоугольной трапеции $A B C D cap A cap B cap C cap D$ равна 8 мм. ️ Шаг 1: Анализ площади треугольника $C D E cap C cap D cap E$ По условию высота $E H cap E cap H$ треугольника $C D E cap C cap D cap E$ опущена на сторону $C D cap C cap D$ . Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S_{C D E} = \frac{1}{2} \cdot C D \cdot E H cap S sub cap C cap D cap E end-sub equals one-half center dot cap C cap D center dot cap E cap H$ Подставим известные значения ( $C D = 17 cap C cap D equals 17$ мм, $E H = 7 \frac{1}{17} = \frac{120}{17} cap E cap H equals 7 and 1 over 17 end-fraction equals 120 over 17 end-fraction$ мм): $S_{C D E} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot \frac{120}{17} = \frac{120}{2} = 60 cap S sub cap C cap D cap E end-sub equals one-half center dot 17 center dot 120 over 17 end-fraction equals 120 over 2 end-fraction equals 60$ мм $^{2} squared$ ️ Шаг 2: Связь между треугольником и трапецией Заметим, что площадь треугольника $C D E cap C cap D cap E$ ( $6060$ мм $^{2} squared$ ) составляет ровно половину площади трапеции $A B C D cap A cap B cap C cap D$ ( $120120$ мм $^{2} squared$ ). В прямоугольной трапеции такое соотношение выполняется, если вершина $E cap E$ лежит на боковой стороне $A B cap A cap B$ (которая является высотой трапеции). При этом высота трапеции $h = A B h equals cap A cap B$ . ️ Шаг 3: Составление системы уравнений Пусть $h h$ — высота трапеции ( $A B cap A cap B$ ), а $A D = a cap A cap D equals a$ — большее основание.

Из формулы площади трапеции:
$S = \frac{B C + A D}{2} \cdot h 120 = \frac{4 + a}{2} \cdot h (4 + a) h = 240 cap S equals the fraction with numerator cap B cap C plus cap A cap D and denominator 2 end-fraction center dot h implies 120 equals the fraction with numerator 4 plus a and denominator 2 end-fraction center dot h implies open paren 4 plus a close paren h equals 240$
$a = \frac{240}{h} - 4 a equals 240 over h end-fraction minus 4$ В прямоугольной трапеции, если опустить перпендикуляр из $C cap C$ на $A D cap A cap D$ , образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой $C D = 17 cap C cap D equals 17$ и катетами $h h$ и $(a - 4) open paren a minus 4 close paren$ . По теореме Пифагора:
$h^{2} + (a - 4)^{2} = 17^{2} h squared plus open paren a minus 4 close paren squared equals 17 squared$
$h^{2} + (a - 4)^{2} = 289 h squared plus open paren a minus 4 close paren squared equals 289$

️ Шаг 4: Решение системы Подставим выражение для $a a$ во второе уравнение: $h^{2} + (\frac{240}{h} - 4 - 4)^{2} = 289 h squared plus open paren 240 over h end-fraction minus 4 minus 4 close paren squared equals 289$ $h^{2} + (\frac{240}{h} - 8)^{2} = 289 h squared plus open paren 240 over h end-fraction minus 8 close paren squared equals 289$ $h^{2} + \frac{57600}{h^{2}} - \frac{3840}{h} + 64 = 289 h squared plus the fraction with numerator 57600 and denominator h squared end-fraction minus 3840 over h end-fraction plus 64 equals 289$ $h^{2} + \frac{57600}{h^{2}} - \frac{3840}{h} - 225 = 0 h squared plus the fraction with numerator 57600 and denominator h squared end-fraction minus 3840 over h end-fraction minus 225 equals 0$ Умножим на $h^{2} h squared$ : $h^{4} - 225 h^{2} - 3840 h + 57600 = 0 h to the fourth power minus 225 h squared minus 3840 h plus 57600 equals 0$ Проверим значение $h = 8 h equals 8$ : $8^{4} - 225 \cdot 8^{2} - 3840 \cdot 8 + 57600 = 4096 - 14400 - 30720 + 57600 = 16576 \neq 0 8 to the fourth power minus 225 center dot 8 squared minus 3840 center dot 8 plus 57600 equals 4096 minus 14400 minus 30720 plus 57600 equals 16576 is not equal to 0$ (не подходит). Проверим значение $h = 15 h equals 15$ : $15^{4} - 225 \cdot 15^{2} - 3840 \cdot 15 + 57600 = 50625 - 50625 - 57600 + 57600 = 0 15 to the fourth power minus 225 center dot 15 squared minus 3840 center dot 15 plus 57600 equals 50625 minus 50625 minus 57600 plus 57600 equals 0$ . Если $h = 15 h equals 15$ , то $a = \frac{240}{15} - 4 = 16 - 4 = 12 a equals 240 over 15 end-fraction minus 4 equals 16 minus 4 equals 12$ . Проверка по теореме Пифагора: $15^{2} + (12 - 4)^{2} = 225 + 64 = 289 = 17^{2} 15 squared plus open paren 12 minus 4 close paren squared equals 225 plus 64 equals 289 equals 17 squared$ . Условие выполняется. Также возможен корень $h = 8 h equals 8$ при другом расположении, но расчет для данной конфигурации дает значение 15 или 8 в зависимости от того, какое основание больше. Однако, исходя из стандартных параметров $C D = 17 cap C cap D equals 17$ , катеты должны быть $88$ и $1515$ . Если $h = 8 h equals 8$ , то $a - 4 = 15 a = 19 a minus 4 equals 15 implies a equals 19$ . Проверка для $h = 8 h equals 8$ : $S = \frac{4 + 19}{2} \cdot 8 = 23 \cdot 4 = 92 \neq 120 cap S equals the fraction with numerator 4 plus 19 and denominator 2 end-fraction center dot 8 equals 23 center dot 4 equals 92 is not equal to 120$ . Проверка для $h = 15 h equals 15$ : $S = \frac{4 + 12}{2} \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120 cap S equals the fraction with numerator 4 plus 12 and denominator 2 end-fraction center dot 15 equals 8 center dot 15 equals 120$ . Ответ: Высота трапеции равна 15 мм. Нужно ли вам рассчитать периметр этой трапеции или координаты ее вершин?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов