Все плоские углы при вершине  � a тетраэдра  � � � � dabc прямые. точка  � 1 d 1 ​  является образом точки  � d при симметрии относительно плоскости  ( � � � ) (abc). найди площадь поверхности многогранника  � � � � 1 bdcb 1 ​ , если  � � = � � = � � = 2 3 ad=ab=ac=2 3 ​ .

Для решения этой задачи необходимо проанализировать геометрию исходного тетраэдра и структуру получившегося многогранника. Анализ исходных данных По условию, все плоские углы при вершине $A$ тетраэдра $DABC$ прямые. Это означает, что перед нами прямоугольный тетраэдр, где ребра $AD$, $AB$ и $AC$ взаимно перпендикулярны. Примем точку $A$ за начало координат:

• $A=(0,0,0)$ $B=(2\sqrt{3},0,0)$ $C=(0,2\sqrt{3},0)$ $D=(0,0,2\sqrt{3})$

По условию $AD=AB=AC=a=2\sqrt{3}$ . Симметрия и форма многогранника Точка $D_1$ является симметричным образом точки $D$ относительно плоскости $\left(ABC\right)$. Многогранник, площадь поверхности которого нужно найти — это объединение двух тетраэдров: исходного $DABC$ и отраженного $D_{1}ABC$, имеющих общее основание $△ABC$. Однако стоит уточнить: если речь идет о многограннике $BDC{D}_1$ (или аналогичном объединении), его поверхность состоит из боковых граней этих двух тетраэдров. Грань $ABC$ оказывается внутри и в площадь поверхности не входит. Вычисление площадей граней 1. Грани при вершине $A$: Грани $ADB$ и $ADC$ являются прямоугольными треугольниками с катетами $a=2\sqrt{3}$ . $S_{ADB}=S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{1}{2}\cdot (2\sqrt{3}{)}^2=\frac{1}{2}\cdot 12=6$ Аналогично для основания в плоскости $XY$: $S_{ABC}=6$. 2. Грань $BDC$ (наклонная грань): Это равносторонний треугольник, так как его стороны — гипотенузы равных прямоугольных треугольников: $BD=BC=CD=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{6}$ . Площадь равностороннего треугольника: $S_{BDC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (2\sqrt{6}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 24=6\sqrt{3}$ Определение площади поверхности многогранника Точка $D_1$ симметрична $D$ относительно плоскости $\left(ABC\right)$. Следовательно, тетраэдр $D_{1}ABC$ равен тетраэдру $DABC$. Поверхность искомого многогранника (двойной пирамиды с общим основанием $ABC$) состоит из:

• Трех граней тетраэдра $DABC$: $△ADB$, $△ADC$ и $△BDC$. Трех соответствующих граней тетраэдра $D_{1}ABC$: $△D_{1}AB$, $△D_{1}AC$ и $△D_{1}BC$.

Однако, в задаче указан многогранник $BDC{D}_1$. Его поверхность образована четырьмя треугольниками: $BDC$, $D_{1}BC$, $BD{D}_1$ и $CD{D}_1$. Чтобы найти их площади, определим положение $D_1$. Расстояние от $A$ до плоскости $ABC$ (высота $h$): В прямоугольном тетраэдре $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}⟹h=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$ . Так как $D_1$ симметрична $D$ относительно плоскости, расстояние $D{D}_1=2h=4$. Площади граней многогранника $BDC{D}_1$:

1. $S_{BDC}=6\sqrt{3}$ $S_{D_{1}BC}=S_{BDC}=6\sqrt{3}$ (в силу симметрии) Для треугольника $BD{D}_1$: Это равнобедренный треугольник со сторонами $BD=B{D}_1=2\sqrt{6}$ и основанием $D{D}_1=4$.
   Высота этого треугольника $m=\sqrt{(2\sqrt{6}{)}^2-2^2}=\sqrt{24-4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ .
   $S_{BD{D}_1}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$ . $S_{CD{D}_1}=S_{BD{D}_1}=4\sqrt{5}$ (в силу симметрии).

Итоговый расчет Полная площадь поверхности $S$: $S=2\cdot S_{BDC}+2\cdot S_{BD{D}_1}=2\cdot 6\sqrt{3}+2\cdot 4\sqrt{5}=12\sqrt{3}+8\sqrt{5}$ Если под "многогранником $BDC{D}_1$" подразумевается фигура, симметричная относительно плоскости $ABC$ (двойная пирамида без учета внутренних сечений), то ответ: $12\sqrt{3}+8\sqrt{5}$ Хотите, я вычислю объем этого многогранника?