Здравствуйте! почему поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен нулю, если заряд находится снаружи поверхности? опишите подробно

Этот вопрос затрагивает фундаментальное свойство электростатического поля, которое математически описывается теоремой Гаусса. Чтобы понять, почему поток вектора напряженности $\vec{E}$ через замкнутую поверхность от внешнего заряда равен нулю, следует рассмотреть ситуацию с двух точек зрения: геометрической и математической. 1. Геометрическая интерпретация (Линии напряженности) Поток вектора напряженности можно визуализировать как количество силовых линий, пронизывающих поверхность.

• Вход и выход: Если точечный заряд находится вне замкнутой поверхности, то любая силовая линия, которая «входит» внутрь объема, ограниченного этой поверхностью, обязательно должна «выйти» из него с другой стороны.
• Баланс: Входящий поток принято считать отрицательным (так как вектор напряженности направлен против внешней нормали к поверхности), а выходящий — положительным.
• Результат: Поскольку число входящих линий в точности равно числу выходящих, их алгебраическая сумма (полный поток) оказывается равной нулю.

2. Математическое обоснование (Закон Кулона и телесный угол) Рассмотрим точечный заряд $q$, находящийся снаружи произвольной замкнутой поверхности $S$. Поток вектора $\vec{E}$ через элементарную площадку $dS$ определяется как: $d\Phi =\vec{E}\cdot d\vec{S}=E\cdot dS\cdot \cos \alpha$Где $\alpha$ — угол между вектором $\vec{E}$ и нормалью к площадке. Из закона Кулона мы знаем, что: $E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{q}{r^2}$ Следовательно: $d\Phi =\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{dS\cdot \cos \alpha }{r^2}$ Величина $\frac{dS\cdot \cos \alpha }{r^2}$ представляет собой элементарный телесный угол $d\Omega$, под которым площадка $dS$ видна из точки, где находится заряд. Когда мы интегрируем этот поток по всей замкнутой поверхности для внешнего заряда:

1. Каждому элементарному конусу с углом $d\Omega$ соответствуют как минимум два участка поверхности: один на ближней стороне (где линии входят) и один на дальней (где линии выходят). Для входящего потока $\cos \alpha <0$, для выходящего $\cos \alpha >0$. Значения телесных углов для этих участков равны по модулю, но противоположны по знаку при вычислении потока. При суммировании они полностью компенсируют друг друга.

3. Формулировка теоремы Гаусса Интегральная форма теоремы Гаусса в вакууме выглядит так: ${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{in}}{{\epsilon }_0}$ Где $Q_{in}$ — это суммарный заряд внутри поверхности.

• Если заряд $q$ находится снаружи, то $Q_{in}=0$. Следовательно, левая часть уравнения (поток) также должна быть равна нулю, независимо от формы поверхности или величины заряда.

Резюме Поток равен нулю, потому что поле внешнего заряда «прошивает» поверхность насквозь. Оно не создается и не исчезает внутри рассматриваемого объема, так как внутри нет источников (зарядов), которые могли бы изменить количество силовых линий. Я могу подготовить для вас разбор задачи на применение теоремы Гаусса для более сложных систем (например, для заряженной плоскости или сферы). Хотите рассмотреть такой пример?