F(x)=x^3-2x^2+x+3 найти экстремумы функции

Функция имеет локальный максимум в точке $x=\frac{1}{3}$ со значением $F\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{85}{27}$ и локальный минимум в точке $x=1$ со значением $F\left(1\right)=3$. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для поиска критических точек необходимо вычислить производную функции $F\left(x\right)=x^3-2x^2+x+3$. Используем правила дифференцирования степенной функции: $F^{\prime }\left(x\right)=3x^2-4x+1$️ Шаг 2: Определение критических точек Приравниваем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых наклон касательной равен нулю: $3x^2-4x+1=0$Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4$Находим корни: $x_1=\frac{4+2}{6}=1$ $x_2=\frac{4-2}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ ️ Шаг 3: Исследование знаков производной Определим поведение функции на интервалах, разделенных точками $\frac{1}{3}$ и $1$:

1. На интервале $(-\infty ;\frac{1}{3})$ выберем $x=0$: $F^{\prime }\left(0\right)=1>0$ (возрастание). На интервале $(\frac{1}{3};1)$ выберем $x=0,5$: $F^{\prime }(0,5)=3(0,25)-4(0,5)+1=-0,25<0$ (убывание). На интервале $(1;+\infty )$ выберем $x=2$: $F^{\prime }\left(2\right)=3\left(4\right)-4\left(2\right)+1=5>0$ (возрастание).

Точка $x=\frac{1}{3}$ является точкой максимума (смена знака с $+$ на $-$). Точка $x=1$ является точкой минимума (смена знака с $-$ на $+$). ️ Шаг 4: Вычисление экстремумов Найдем значения функции в этих точках: $F\left(\frac{1}{3}\right)=(\frac{1}{3}{)}^3-2(\frac{1}{3}{)}^2+\frac{1}{3}+3=\frac{1}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3}+3=\frac{1-6+9+81}{27}=\frac{85}{27}\approx 3,15$ $F\left(1\right)=1^3-2(1{)}^2+1+3=1-2+1+3=3$ Ответ: Локальный максимум: $(\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}};\frac{85}{27})$ , локальный минимум: $(\mathbf{1};\mathbf{3})$. Нужно ли построить график этой функции или найти точки перегиба?