1. найдите апофему правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 4 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30◦. 2. высота ко правильной пирамиды кавсд равна 7√3 см. двугранный угол при стороне ад равен 30◦. найти площадь полной поверхности пирамиды. 3. в основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 4 см, 13 см, 15 см. найдите площадь полной поверхности пирамиды, если двугранные углы при основании пирамиды равны 30◦.

1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна $\frac{2\sqrt{7}}{3}$ см. 2. Площадь полной поверхности пирамиды равна $1764+1176\sqrt{3}$ ${\text{см}}^2$. 3. Площадь полной поверхности пирамиды равна $24+16\sqrt{3}$ ${\text{см}}^2$.

️ Шаг 1: Нахождение апофемы треугольной пирамиды В правильной треугольной пирамиде со стороной основания $a=4$ радиус описанной окружности основания равен $R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$ . Высота пирамиды $H$ находится через угол наклона бокового ребра $\alpha ={30}^{\circ }$: $H=R\tan \left({30}^{\circ }\right)=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}$ . Апофема $L$ вычисляется через высоту $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$ по теореме Пифагора: $L=\sqrt{H^2+r^2}=\sqrt{(\frac{4}{3}{)}^2+(\frac{2}{\sqrt{3}}{)}^2}=\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{28}{9}}=\frac{2\sqrt{7}}{3}$ ️ Шаг 2: Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды Дана высота $H=7\sqrt{3}$ и двугранный угол $\varphi ={30}^{\circ }$. В правильной пирамиде $H=r\tan \left(\varphi \right)$, где $r$ — расстояние от центра до стороны (половина стороны основания $a/2$). Находим $r$: $r=\frac{H}{\tan \left({30}^{\circ }\right)}=\frac{7\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}}=21$ , тогда $a=42$. Площадь основания $S_{осн}=a^2={42}^2=1764$. Апофема $L=\frac{H}{\sin \left({30}^{\circ }\right)}=14\sqrt{3}$ . Площадь боковой поверхности $S_{бок}=\frac{1}{2}PL=\frac{1}{2}(4\cdot 42)\cdot 14\sqrt{3}=1176\sqrt{3}$ . Полная площадь: $S_{полн}=1764+1176\sqrt{3}$ ️ Шаг 3: Площадь пирамиды с произвольным треугольником в основании Для треугольника со сторонами $4,13,15$ полупериметр $p=\frac{4+13+15}{2}=16$ . Площадь основания по формуле Герона: $S_{осн}=\sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)}=\sqrt{16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}=24$ . Так как все двугранные углы при основании равны $\varphi ={30}^{\circ }$, площадь боковой поверхности связана с площадью основания формулой $S_{бок}=\frac{S_{осн}}{\cos \left(\varphi \right)}$ : $S_{бок}=\frac{24}{\cos \left({30}^{\circ }\right)}=\frac{24}{\sqrt{3}/2}=\frac{48}{\sqrt{3}}=16\sqrt{3}$ Полная площадь: $S_{полн}=24+16\sqrt{3}$ . Ответ:

1. Апофема: $\frac{2\sqrt{7}}{3}$ см. Площадь полной поверхности: $1764+1176\sqrt{3}$ ${\text{см}}^2$. Площадь полной поверхности: $24+16\sqrt{3}$ ${\text{см}}^2$.

Укажите, требуется ли вычислить приближенные значения полученных иррациональных чисел для практических целей.