10^sinx=2^(sinx-cosx)

Для решения уравнения ${10}^{\sin x}=2^{\sin x-\cos x}$ воспользуемся методами логарифмирования и преобразования тригонометрических выражений. 1. Логарифмирование уравнения Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (десятичный логарифм): $\lg \left({10}^{\sin x}\right)=\lg \left(2^{\sin x-\cos x}\right)$Используя свойства логарифма $\lg \left(a^b\right)=b\lg a$, получаем: $\sin x\cdot \lg 10=(\sin x-\cos x)\cdot \lg 2$Так как $\lg 10=1$, уравнение принимает вид: $\sin x=(\sin x-\cos x)\lg 2$2. Группировка слагаемых Раскроем скобки и перенесем все слагаемые с $\sin x$ в одну сторону: $\sin x=\sin x\lg 2-\cos x\lg 2$ $\sin x-\sin x\lg 2=-\cos x\lg 2$ $\sin x(1-\lg 2)=-\cos x\lg 2$Заметим, что $1-\lg 2=\lg 10-\lg 2=\lg 5$. Подставим это значение: $\sin x\lg 5=-\cos x\lg 2$3. Переход к тангенсу Разделим обе части уравнения на $\cos x\lg 5$. Предположим, что $\cos x\ne 0$ (если $\cos x=0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin x=0$, что невозможно одновременно): $\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{\lg 2}{\lg 5}$ $\text{tg}x=-\frac{\lg 2}{\lg 5}$ Используя формулу перехода к новому основанию $\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}={\log }_{b}a$ , упростим правую часть: $\text{tg}x=-{\log }_{5}2$4. Нахождение корней Решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение: $x=\text{arctg}(-{\log }_{5}2)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$Учитывая нечетность арктангенса $\text{arctg}(-a)=-\text{arctg}a$, окончательный ответ: $x=-\text{arctg}\left({\log }_{5}2\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$Ответ: $x=-\text{arctg}\left({\log }_{5}2\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Я могу составить для вас аналогичную задачу с другими логарифмическими основаниями или помочь с проверкой решения в конкретном числовом промежутке.