Найти промежутки монотонности y=2x^3+6x^2-1.

Функция возрастает на промежутках $(-\infty ,-2]$ и $[0,+\infty )$, а убывает на промежутке $[-2,0]$. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для определения промежутков монотонности необходимо найти производную функции $y=2x^3+6x^2-1$. Используя правила дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=6x^2+12x$️ Шаг 2: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых функция может менять характер монотонности: $6x^2+12x=0$Вынесем общий множитель за скобки: $6x(x+2)=0$Отсюда получаем две критические точки: $x_1=0,x_2=-2$️ Шаг 3: Анализ знаков производной на интервалах Разделим числовую прямую на интервалы критическими точками и определим знак $y^{\prime }$ на каждом из них:

1. На интервале $(-\infty ,-2)$: выберем $x=-3$, тогда $y^{\prime }\left(-3\right)=6\left(-3\right)(-3+2)=18>0$. Функция возрастает. На интервале $(-2,0)$: выберем $x=-1$, тогда $y^{\prime }\left(-1\right)=6\left(-1\right)(-1+2)=-6<0$. Функция убывает. На интервале $(0,+\infty )$: выберем $x=1$, тогда $y^{\prime }\left(1\right)=6\left(1\right)(1+2)=18>0$. Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает при $x\in (-\infty ,-2]\cup [0,+\infty )$ и убывает при $x\in [-2,0]$. Сообщите, нужно ли вам также найти экстремумы (точки максимума и минимума) для этой функции?