1/4+lgx + 2/2-lgx =1

Для решения уравнения $\frac{1}{4+\lg x}+\frac{2}{2-\lg x}=1$ воспользуемся методом замены переменной. 1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• Аргумент логарифма должен быть положительным: $x>0$. Знаменатели не должны равняться нулю:
  • $4+\lg x\ne 0⟹\lg x\ne -4⟹x\ne {10}^{-4}$ $2-\lg x\ne 0⟹\lg x\ne 2⟹x\ne {10}^2$ (100)

2. Замена переменной Пусть $\lg x=t$. Тогда уравнение принимает вид: $\frac{1}{4+t}+\frac{2}{2-t}=1$ 3. Решение рационального уравнения Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $(4+t)(2-t)$: $\frac{1(2-t)+2(4+t)}{(4+t)(2-t)}-1=0$ Раскроем скобки в числителе: $\frac{2-t+8+2t}{(4+t)(2-t)}-1=0$ $\frac{t+10}{(4+t)(2-t)}-1=0$ Приведем к общему знаменателю с единицей: $\frac{(t+10)-(4+t)(2-t)}{(4+t)(2-t)}=0$ Раскроем произведение $(4+t)(2-t)=8-4t+2t-t^2=8-2t-t^2$: $\frac{t+10-(8-2t-t^2)}{(4+t)(2-t)}=0$ $\frac{t+10-8+2t+t^2}{(4+t)(2-t)}=0$ $\frac{t^2+3t+2}{(4+t)(2-t)}=0$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $t^2+3t+2=0$4. Нахождение корней для $t$ Используем теорему Виета или дискриминант:

• $t_1+t_2=-3$ $t_1\cdot t_2=2$

Корни уравнения:

1. $t_1=-1$ $t_2=-2$

Оба значения удовлетворяют условиям знаменателя ( $t\ne -4$ и $t\ne 2$). 5. Обратная замена Вернемся к переменной $x$: Случай 1: $\lg x=-1$ $x_1={10}^{-1}=0,1$Случай 2: $\lg x=-2$ $x_2={10}^{-2}=0,01$Ответ: $x_1=0,1$; $x_2=0,01$. Я могу проверить эти корни подстановкой в исходное уравнение или помочь с решением похожей задачи. Что предпочтете?