Найдите точку минимума функции y=x^2+169/x

Для нахождения точки минимума функции $y=x^2+\frac{169}{x}$ необходимо выполнить следующие шаги: 1. Нахождение производной функции Используем правила дифференцирования: $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$ и $(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ . $y^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }+{\left(\frac{169}{x}\right)}^{\prime }=2x-\frac{169}{x^2}$ 2. Определение критических точек Приравниваем производную к нулю для поиска экстремумов: $2x-\frac{169}{x^2}=0$ Приводим к общему знаменателю: $\frac{2x^3-169}{x^2}=0$ Так как знаменатель $x^2\ne 0$ (функция не определена в точке $x=0$), решаем уравнение для числителя: $2x^3-169=0$ $2x^3=169$ $x^3=\frac{169}{2}=84.5$ $x=\sqrt[3]{84.5}$ 3. Исследование знаков производной Для определения того, является ли точка $\sqrt[3]{84.5}$ минимумом, проанализируем поведение функции:

• При $x<0$ производная $y^{\prime }<0$ (функция убывает). При $0<x<\sqrt[3]{84.5}$ (например, $x=1$), $y^{\prime }=2-169=-167<0$ (функция убывает). При $x>\sqrt[3]{84.5}$ (например, $x=10$), $y^{\prime }=20-1.69=18.31>0$ (функция возрастает).

Поскольку в точке $x=\sqrt[3]{84.5}$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума 1.2.11, 1.2.10. Ответ: $x=\sqrt[3]{84.5}\approx 4.388$ . (Примечание: Если в условии подразумевалось $y=\frac{x^2+169}{x}$ , то решение меняется: $y=x+\frac{169}{x}$ , $y^{\prime }=1-\frac{169}{x^2}=0x^2=169x=13$ 1.2.2). Требуется ли вам вычислить значение функции в этой точке или рассмотреть вариант записи функции дробью?