Найти производную функции y=sin^2 3x

Для нахождения производной функции $y={\sin }^2\left(3x\right)$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Данную функцию можно представить как композицию трех функций:

1. Внешняя функция: возведение в квадрат $u^2$. Промежуточная функция: синус $\sin \left(v\right)$. Внутренняя функция: линейное выражение $3x$.

Пошаговое решение

1. Применяем правило для степени:
   Сначала берем производную от квадрата, оставляя выражение $\sin \left(3x\right)$ неизменным:
   $y^{\prime }=2\cdot \sin \left(3x\right)\cdot \left(\sin \right(3x){)}^{\prime }$ Дифференцируем синус:
   Производная синуса равна косинусу, при этом аргумент $3x$ сохраняется, и мы должны умножить результат на производную самого аргумента:
   $y^{\prime }=2\sin \left(3x\right)\cdot \cos \left(3x\right)\cdot (3x{)}^{\prime }$ Находим производную внутренней функции:
   Производная $3x$ по $x$ равна $3$:
   $y^{\prime }=2\sin \left(3x\right)\cos \left(3x\right)\cdot 3$ $y^{\prime }=6\sin \left(3x\right)\cos \left(3x\right)$

Упрощение ответа Полученный результат можно упростить, используя тригонометрическую формулу двойного угла: $\sin \left(2\alpha \right)=2\sin \alpha \cos \alpha$. В нашем случае $\alpha =3x$, следовательно: $2\sin \left(3x\right)\cos \left(3x\right)=\sin \left(6x\right)$Подставляя это в выражение для производной, получаем окончательный вид: $y^{\prime }=3\cdot \sin \left(6x\right)$Ответ: $y^{\prime }=6\sin \left(3x\right)\cos \left(3x\right)\text{или}{y}^{\prime }=3\sin \left(6x\right)$Я могу также помочь с вычислением производных более сложных функций или нахождением экстремумов этой функции. Хотите, чтобы я нашел точки максимума и минимума для $y={\sin }^2\left(3x\right)$?