2^x^2+9*2^1-x^2>=19 решить неравенство

Для решения неравенства $2^{x^2}+9\cdot 2^{1-x^2}\ge 19$ воспользуемся методом замены переменной. 1. Преобразование выражения Сначала упростим второе слагаемое, используя свойства степеней ( $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$ ): $2^{x^2}+9\cdot \frac{2^1}{2^{x^2}}\ge 19$ $2^{x^2}+\frac{18}{2^{x^2}}\ge 19$ 2. Замена переменной Пусть $t=2^{x^2}$. Заметим, что так как $x^2\ge 0$ для любого действительного $x$, то $2^{x^2}\ge 2^0$, следовательно, область допустимых значений для новой переменной: $t\ge 1$. 3. Решение квадратного неравенства относительно $t$ Подставим $t$ в уравнение: $t+\frac{18}{t}\ge 19$ Так как $t\ge 1$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$ без изменения знака: $t^2+18\ge 19t$ $t^2-19t+18\ge 0$Найдем корни квадратного трехчлена $t^2-19t+18=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=19$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=18$
  Корни: $t_1=1$ и $t_2=18$.

Решением неравенства $(t-1)(t-18)\ge 0$ являются промежутки: $t\le 1\text{или}t\ge 18$4. Обратная замена Учитывая условие $t\ge 1$, получаем два случая: Случай 1: $t=1$ $2^{x^2}=1$ $2^{x^2}=2^0$ $x^2=0⟹x=0$Случай 2: $t\ge 18$ $2^{x^2}\ge 18$Прологарифмируем обе части по основанию 2: ${\log }_2\left(2^{x^2}\right)\ge {\log }_2\left(18\right)$ $x^2\ge {\log }_2\left(18\right)$Так как ${\log }_2\left(18\right)={\log }_2(9\cdot 2)={\log }_2\left(9\right)+1$, это положительное число. Извлекая корень, получаем: $x\le -\sqrt{{\log }_{2}18}\text{или}x\ge \sqrt{{\log }_{2}18}$ Ответ: $x\in (-\infty ;-\sqrt{{\log }_{2}18}]\cup \left\{0\right\}\cup [\sqrt{{\log }_{2}18};+\infty )$ Хотите ли вы разобрать, как логарифмические свойства позволяют упростить запись $\sqrt{{\log }_{2}18}$ до выражения с десятичными логарифмами или натуральным логарифмом?