Для заданной последовательности найти формулу общего члена: 1/2, 1/6, 1/24, 1/120, 1/720

Для того чтобы найти формулу общего члена данной последовательности, проанализируем структуру её элементов. Анализ последовательности Выпишем элементы и представим их в виде дробей:

• $a_1=\frac{1}{2}$ $a_2=\frac{1}{6}$ $a_3=\frac{1}{24}$ $a_4=\frac{1}{120}$ $a_5=\frac{1}{720}$

Заметим, что числитель всегда равен 1, а знаменатели представляют собой быстро растущие числа. Разложим знаменатели на множители:

• $2=2\times 1$ $6=3\times 2\times 1$ $24=4\times 3\times 2\times 1$ $120=5\times 4\times 3\times 2\times 1$ $720=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1$

Вывод формулы Произведение всех натуральных чисел от $1$ до $n$ обозначается как факториал — $n!$. Сравним номер члена последовательности ( $n$) со значением факториала в знаменателе:

1. При $n=1$ знаменатель равен $2!$ ( $2$) При $n=2$ знаменатель равен $3!$ ( $6$) При $n=3$ знаменатель равен $4!$ ( $24$) При $n=4$ знаменатель равен $5!$ ( $120$)

Следовательно, знаменатель каждого $n$-го члена равен $(n+1)!$. Итоговая формула Общий член последовательности $a_n$ записывается следующим образом: $a_n=\frac{1}{(n+1)!}$ Где $n=1,2,3,\dots$ Хотите, чтобы я проверил эту формулу для следующего числа в ряду или вывел рекуррентную формулу для этой же последовательности?