Докажите,что числа 64 и 81 взаимно простые!

Чтобы доказать, что два числа являются взаимно простыми, необходимо подтвердить, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это означает, что у чисел нет общих простых множителей. 1. Разложение чисел на простые множители Для начала разложим каждое число на простые множители:

• Число 64:
  Это шестая степень двойки.
  $64=2\cdot 32=2\cdot 2\cdot 16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 8=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$
  Следовательно, $64=2^6$. Единственным простым делителем числа 64 является 2. Число 81:
  Это четвертая степень тройки.
  $81=3\cdot 27=3\cdot 3\cdot 9=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
  Следовательно, $81=3^4$. Единственным простым делителем числа 81 является 3.

2. Сравнение множителей Для нахождения НОД нужно выписать общие множители, входящие в разложение обоих чисел:

• Множители числа 64: $\{2,2,2,2,2,2\}$ Множители числа 81: $\{3,3,3,3\}$

Как видно, в разложениях нет ни одного общего простого множителя. 3. Вычисление НОД Так как общих простых делителей нет, единственным общим делителем для этих чисел является единица: $\text{НОД}(64,81)=1$Заключение Согласно определению, если НОД двух натуральных чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми. Следовательно, числа 64 и 81 взаимно простые. Что и требовалось доказать. Если вам нужно проверить на взаимную простоту другую пару чисел или освоить алгоритм Евклида для работы с более крупными значениями, я могу составить пошаговую инструкцию.