Доказать, что функция f(x) является первообразной для функции f(x) f(x)=3x+sinx-e(в степени 2x) f(x)=3+cosx-2e(в степени 2x)

Для того чтобы доказать, что функция $F\left(x\right)=3x+\sin \left(x\right)-e^{2x}$ является первообразной для функции $f\left(x\right)=3+\cos \left(x\right)-2e^{2x}$, необходимо подтвердить выполнение равенства $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$. ️ Шаг 1: Дифференцирование функции $F\left(x\right)$ Для проверки условия найдем производную функции $F\left(x\right)$, используя правила дифференцирования суммы и элементарных функций:

1. Производная линейной функции: $(3x{)}^{\prime }=3$. Производная тригонометрической функции: $\left(\sin \right(x){)}^{\prime }=\cos (x)$. Производная показательной функции (используя правило дифференцирования сложной функции): $(e^{2x}{)}^{\prime }=e^{2x}\cdot (2x{)}^{\prime }=2e^{2x}$.

Объединим полученные результаты: $F^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}(3x+\sin (x)-e^{2x})=3+\cos \left(x\right)-2e^{2x}$ ️ Шаг 2: Сравнение производной с исходной функцией Сравним полученное выражение для $F^{\prime }\left(x\right)$ с функцией $f\left(x\right)$, указанной в условии: $F^{\prime }\left(x\right)=3+\cos \left(x\right)-2e^{2x}$ $f\left(x\right)=3+\cos \left(x\right)-2e^{2x}$Так как выражения тождественно равны ( $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$), по определению первообразной, функция $F\left(x\right)$ является первообразной для $f\left(x\right)$. Ответ: Утверждение доказано, так как производная функции $F\left(x\right)=3x+\sin \left(x\right)-e^{2x}$ равна $F^{\prime }\left(x\right)=3+\cos \left(x\right)-2e^{2x}$, что полностью совпадает с заданной функцией $f\left(x\right)$. Нужно ли вам проверить аналогичным способом другие функции или вычислить неопределенный интеграл?