Доказать, что корень из трех не является рациональным числом

Для доказательства иррациональности числа $\sqrt{3}$ традиционно используется метод от противного. Суть доказательства Предположим, что $\sqrt{3}$ является рациональным числом. Это означает, что его можно представить в виде обыкновенной несократимой дроби: $\sqrt{3}=\frac{m}{n}$ Где:

• $m$ и $n$ — целые числа ( $n\ne 0$). Дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой, то есть у чисел $m$ и $n$ нет общих делителей, кроме единицы ( $НОД(m,n)=1$).

Шаг 1: Возведение в квадрат Возведем обе части уравнения в квадрат: $3=\frac{m^2}{n^2}$ Отсюда следует: $m^2=3n^2$Шаг 2: Анализ делимости $m$ Из уравнения $m^2=3n^2$ видно, что $m^2$ делится на $3$ без остатка. Согласно свойствам делимости простых чисел, если квадрат целого числа делится на простое число (в данном случае $3$), то и само число должно делиться на это простое число.

Следовательно, $m$ делится на $3$.

Это значит, что $m$ можно представить в виде: $m=3k$где $k$ — некоторое целое число. Шаг 3: Анализ делимости $n$ Подставим выражение $m=3k$ в наше уравнение $m^2=3n^2$: $(3k{)}^2=3n^2$ $9k^2=3n^2$Разделим обе части на $3$: $3k^2=n^2$Из этого уравнения следует, что $n^2$ также делится на $3$. По той же логике, что и в предыдущем шаге, если $n^2$ делится на $3$, то и $n$ должно делиться на $3$. Вывод и противоречие Мы пришли к выводу, что оба числа — и $m$, и $n$ — делятся на $3$. Это прямо противоречит нашему исходному условию о том, что дробь $\frac{m}{n}$ несократима (так как мы нашли общий делитель $3$). Поскольку предположение о рациональности привело к противоречию, оно ложно. Следовательно, $\sqrt{3}$ является иррациональным числом. Если вам интересно, я могу подготовить аналогичное доказательство для любого другого корня или объяснить, почему этот метод не сработает для чисел, являющихся полными квадратами (например, $\sqrt{4}$ ).