В ряд записаны числа 1, 2, 3, 4....20, 21. играющие по очереди вычеркивают по одному числу до тех пор, пока не останутся два числа. если сумма этих чисел делится на 5, то выигравшим считается первый игрок, если нет- то второй. кто выиграет при правильной игре? ответ объясните

В этой игре при правильной стратегии победит первый игрок. ️ Шаг 1: Анализ условий и остатков Для решения задачи рассмотрим остатки чисел от 1 до 21 при делении на 5. Сумма двух чисел делится на 5 тогда и только тогда, когда сумма их остатков делится на 5 (или равна 0, или 5, или 10). Распределим числа по остаткам:

• Остаток 0: $\{5,10,15,20\}$ — 4 числа Остаток 1: $\{1,6,11,16,21\}$ — 5 чисел Остаток 2: $\{2,7,12,17\}$ — 4 числа Остаток 3: $\{3,8,13,18\}$ — 4 числа Остаток 4: $\{4,9,14,19\}$ — 4 числа

Всего 21 число. Игра закончится, когда останется 2 числа. Это значит, что будет сделано $21-2=19$ ходов. Первый игрок делает 10 ходов, второй — 9. Последний (19-й) ход делает первый игрок. ️ Шаг 2: Условия победы Первый игрок выигрывает, если сумма двух оставшихся чисел $S\equiv 0\left(\mathrm{mod}5\right)$. Это возможно в трех случаях:

1. Оба числа имеют остаток 0 (пара $0+0$). Одно число имеет остаток 1, другое — 4 (пара $1+4$). Одно число имеет остаток 2, другое — 3 (пара $2+3$).

Второй игрок выигрывает, если он сможет "разрушить" все такие потенциальные пары к моменту последнего хода. ️ Шаг 3: Стратегия и расчет ходов Поскольку первый игрок делает последний ход, перед его ходом в ряду остается 3 числа. Первый игрок выиграет, если среди этих трех чисел можно выбрать хотя бы одну пару с суммой, кратной 5. Второму игроку нужно добиться того, чтобы среди финальных трех чисел не было ни одной выигрышной пары. Чтобы гарантированно лишить первого игрока победы, второму нужно:

• Оставить не более одного числа с остатком 0 (нужно убрать $4-1=3$ числа). Полностью убрать все числа с остатком 1 ИЛИ все числа с остатком 4 (минимум 4 числа). Полностью убрать все числа с остатком 2 ИЛИ все числа с остатком 3 (минимум 4 числа).

Итого второму игроку в худшем для него случае (если первый игрок не будет помогать ему удалять эти же числа) потребовалось бы $3+4+4=11$ ходов. Однако у второго игрока всего 9 ходов. Первый игрок своей игрой может "защищать" по одному представителю из каждой группы остатков. Так как общее количество необходимых удалений для разрушения всех комбинаций (11) превышает количество ходов второго игрока (9), первый игрок всегда сможет оставить к своему последнему ходу три таких числа, из которых хотя бы два дадут в сумме число, кратное 5. Ответ: Выиграет первый игрок. Его стратегия заключается в сохранении хотя бы одной потенциально выигрышной пары чисел (0 и 0, 1 и 4 или 2 и 3), мешая второму игроку полностью уничтожить эти группы остатков. Так как у второго игрока недостаточно ходов, чтобы нейтрализовать все три типа выигрышных пар, первый игрок всегда сможет оставить нужную комбинацию. Хотите разобрать аналогичную задачу с другим количеством чисел или иным условием делимости?