Производная tgx + ctgx

Для нахождения производной функции $f\left(x\right)=\tan x+\cot x$ можно воспользоваться правилом дифференцирования суммы, а также табличными значениями производных тригонометрических функций. 1. Использование табличных производных Согласно правилам дифференцирования: $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$Применяем это к нашей функции: $(\tan x+\cot x{)}^{\prime }=(\tan x{)}^{\prime }+(\cot x{)}^{\prime }$Из таблицы производных известно, что:

• $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

Таким образом, предварительный результат: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ 2. Упрощение выражения Полученное выражение можно привести к общему знаменателю для получения более компактного вида:

1. Общий знаменатель: ${\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x$ Приведение дробей:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$ Использование тригонометрических формул:
   • Числитель: ${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=-\cos \left(2x\right)$ Знаменатель: ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}(2\sin x\cos x{)}^2=\frac{1}{4}{\sin }^2(2x)$
   Итоговый вид:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-\cos \left(2x\right)}{\frac{1}{4}{\sin }^2\left(2x\right)}=-\frac{4\cos \left(2x\right)}{{\sin }^2\left(2x\right)}$

3. Альтернативный метод (через упрощение исходной функции) Можно сначала упростить саму функцию $f\left(x\right)$: $\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin \left(2x\right)}$ Теперь найдем производную от $2\left(\sin \right(2x){)}^{-1}$ как от сложной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=2\cdot \left(-1\right)\cdot \left(\sin \right(2x){)}^{-2}\cdot (\sin \left(2x\right){)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=-2\cdot \frac{1}{{\sin }^2\left(2x\right)}\cdot \cos \left(2x\right)\cdot 2$ $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{4\cos \left(2x\right)}{{\sin }^2\left(2x\right)}$ Ответ: $(\tan x+\cot x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-\frac{4\cos \left(2x\right)}{{\sin }^2\left(2x\right)}$ Я могу также рассчитать вторую производную этой функции или найти её значение в конкретной точке.