Докажите, что если плоскости а и в перпендикулярны прямой а, то они паралельны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом «от противного». Условие Дано:

• $\alpha ⟂a$ (плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $a$) $\beta ⟂a$ (плоскость $\beta$ перпендикулярна прямой $a$)

Доказать: $\alpha \parallel \beta$ Доказательство

1. Предположение от противного
   Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Это означает, что они пересекаются по некоторой прямой $c$. Выбор точки на линии пересечения
   Пусть точка $M$ лежит на прямой $c$ (линии пересечения плоскостей). Следовательно, точка $M$ одновременно принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Построение перпендикуляров
   Обозначим точки пересечения прямой $a$ с плоскостями $\alpha$ и $\beta$ как $A$ и $B$ соответственно.
   • Так как $\alpha ⟂a$, то прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $A$. Проведем в плоскости $\alpha$ прямую $MA$. Тогда $a⟂MA$, следовательно, $\angle MAB={90}^{\circ }$. Так как $\beta ⟂a$, то прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через точку $B$. Проведем в плоскости $\beta$ прямую $MB$. Тогда $a⟂MB$, следовательно, $\angle MBA={90}^{\circ }$.
   Анализ полученного треугольника
   Рассмотрим треугольник $MAB$. Мы получили, что в этом треугольнике два угла равны по ${90}^{\circ }$ ( $\angle MAB={90}^{\circ }$ и $\angle MBA={90}^{\circ }$). Противоречие
   Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех углов должна быть равна ${180}^{\circ }$. В нашем случае:
   $\angle MAB+\angle MBA+\angle AMB={90}^{\circ }+{90}^{\circ }+\angle AMB={180}^{\circ }+\angle AMB$Так как угол $\angle AMB$ не может быть равен нулю (иначе точки $M,A,B$ лежали бы на одной прямой, что невозможно по условию расположения прямой $a$), сумма углов превышает ${180}^{\circ }$.

   Примечание: Также из одной точки $M$, не лежащей на прямой $a$, нельзя провести два разных перпендикуляра ( $MA$ и $MB$) к этой прямой.

   Вывод
   Наше предположение о том, что плоскости пересекаются, оказалось ложным. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ не имеют общих точек, то есть они параллельны.

Что и требовалось доказать. Могу ли я помочь вам с доказательством других теорем стереометрии или решением задач на взаимное расположение плоскостей?