Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырёхугольника не лежат в одной плоскости).

Для доказательства этого утверждения, известного как теорема Вариньона, мы воспользуемся свойствами средней линии треугольника и признаком параллелограмма. Дано:

• $ABCD$ — пространственный четырехугольник (точки $A,B,C,D$ не лежат в одной плоскости). Точки $M,N,K,L$ — середины сторон $AB,BC,CD$ и $DA$ соответственно.

Доказать:

• Четырёхугольник $MNKL$ — параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$:
   Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По свойству средней линии треугольника:
   • $MN\parallel AC$ $MN=\frac{1}{2}AC$
   Рассмотрим треугольник $ADC$:
   Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$. Аналогично, по свойству средней линии треугольника:
   • $KL\parallel AC$ $KL=\frac{1}{2}AC$
   Сравним отрезки $MN$ и $KL$:
   • Так как и $MN$, и $KL$ параллельны одной и той же прямой $AC$, то по свойству параллельности прямых в пространстве: $MN\parallel KL$. Так как длины обоих отрезков равны половине длины диагонали $AC$, то $MN=KL$.
   Вывод:
   Согласно признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, $MNKL$ — параллелограмм.

Важное замечание: Тот факт, что четырехугольник $ABCD$ является пространственным (его вершины не лежат в одной плоскости), не меняет хода доказательства. Средние линии $MN$ и $KL$ всё равно лежат в одной плоскости, так как обе они параллельны прямой $AC$. Это доказывает, что вершины $M,N,K,L$ всегда образуют плоскую фигуру, даже если исходный контур был «сломанным». Я могу также подготовить для вас доказательство того, что площадь этого параллелограмма связана с площадью проекций исходного четырехугольника, или разобрать случай с использованием векторов. Хотите продолжить в этом направлении?