Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Однако, чтобы установить, является ли произвольный четырехугольник параллелограммом, не обязательно проверять параллельность всех сторон. Для этого существуют признаки — достаточные условия, каждое из которых гарантирует свойства параллелограмма. Ниже приведены три основных признака с доказательствами. Признак 1: По двум равным и параллельным сторонам Формулировка: Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Доказательство:

1. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором стороны $AB=CD$ и $AB\parallel CD$. Проведем диагональ $AC$. Она разделяет четырехугольник на два треугольника: $△ABC$ и $△CDA$. В этих треугольниках:
   • Сторона $AC$ — общая. $AB=CD$ по условию. $\angle BAC=\angle ACD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.
   Следовательно, $△ABC=△CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BCA=\angle CAD$. Эти углы являются накрест лежащими для прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Раз они равны, то $BC\parallel AD$. Так как $AB\parallel CD$ (по условию) и $BC\parallel AD$ (доказано), четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом по определению.

Признак 2: По равенству противоположных сторон Формулировка: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Доказательство:

1. Пусть в четырехугольнике $ABCD$ имеем $AB=CD$ и $BC=DA$. Проведем диагональ $AC$. Рассмотрим $△ABC$ и $△CDA$:
   • $AB=CD$ (по условию). $BC=DA$ (по условию). $AC$ — общая сторона.
   Треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует, что $\angle BAC=\angle ACD$. Эти углы — накрест лежащие при прямых $AB,CD$ и секущей $AC$. Следовательно, $AB\parallel CD$. Аналогично, из равенства треугольников следует $\angle BCA=\angle CAD$, что означает $BC\parallel AD$. Две пары параллельных сторон подтверждают, что $ABCD$ — параллелограмм.

Признак 3: По точке пересечения диагоналей Формулировка: Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Доказательство:

1. Пусть диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, причем $AO=OC$ и $BO=OD$. Рассмотрим $△AOB$ и $△COD$:
   • $AO=OC$ (по условию). $BO=OD$ (по условию). $\angle AOB=\angle COD$ как вертикальные углы.
   Следовательно, $△AOB=△COD$ по первому признаку. Из равенства треугольников следует, что $AB=CD$ и $\angle OAB=\angle OCD$. Равенство углов $\angle OAB$ и $\angle OCD$ (накрест лежащие) доказывает, что $AB\parallel CD$. Имеем: стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны. Согласно Признаку 1, такой четырехугольник является параллелограммом.

Сводная таблица признаков

Я могу подготовить для вас аналогичный разбор свойств параллелограмма или решить задачу на применение этих признаков. Хотите, чтобы я подобрал несколько практических задач?