Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (3x-2y)^4

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных $f(x,y)=(3x-2y{)}^4$ необходимо знать область определения (конкретный «отрезок» или область в пространстве $xy$), так как без ограничений функция неограниченно возрастает. Предположим, что под «отрезком» подразумевается область, где переменные $x$ и $y$ принимают значения из заданных диапазонов. ️ Шаг 1: Анализ свойств функции Функция представляет собой четвертую степень линейного выражения $u=3x-2y$.

• Поскольку степень четная ( $n=4$), значение функции всегда неотрицательно: $f(x,y)\ge 0$. Минимальное возможное значение функции $f_{min}=0$. Оно достигается во всех точках, где основание равно нулю, то есть на прямой $3x-2y=0$ (или $y=1.5x$), если эта прямая проходит через заданную область.

️ Шаг 2: Нахождение частных производных Для поиска стационарных точек вычислим частные производные первого порядка:

• $\frac{f}{x}=4(3x-2y{)}^3\cdot 3=12(3x-2y{)}^3$ $\frac{f}{y}=4(3x-2y{)}^3\cdot (-2)=-8(3x-2y{)}^3$

Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений, решением которой является всё та же прямая $3x-2y=0$. Это подтверждает, что локальный минимум равен 0 и достигается на линии. ️ Шаг 3: Определение наибольшего значения Наибольшее значение функции непрерывной на замкнутом множестве (отрезке или области) всегда достигается на его границе.

• Чтобы найти максимум, нужно подставить координаты граничных точек области в выражение $(3x-2y{)}^4$. Максимальное значение будет достигнуто в той точке, где абсолютная величина разности $|3x-2y|$ максимальна.

Ответ: Наименьшее значение функции $f(x,y)=(3x-2y{)}^4$ равно 0 (достигается при $3x=2y$). Наибольшее значение зависит от границ заданной области и достигается в одной из её угловых точек, где величина $|3x-2y|$ принимает максимальное значение. Уточните параметры области или отрезка (например, $x\in [a,b],y\in [c,d]$), чтобы рассчитать точные числовые значения.