При каком значении параметра p система уравнения {x^2+y^2=36, y-x^2=p, имеет три решения?

Система уравнений имеет три решения при p = -6. ️ Шаг 1: Анализ симметрии системы Уравнения системы:

1. $x^2+y^2=36$ — окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $R=6$. $y-x^2=p{x}^2=y-p$ — парабола с вершиной в точке $(0,p)$, ветви которой направлены вверх.

Обе кривые симметричны относительно оси $Oy$ (при замене $x$ на $-x$ уравнения не меняются). Это означает, что если точка $(x_0,y_0)$ является решением и $x_0\ne 0$, то точка $(-x_0,y_0)$ также будет решением. Чтобы общее количество решений было нечетным (в данном случае три), необходимо, чтобы хотя бы одно решение имело координату $x=0$. ️ Шаг 2: Нахождение возможных значений параметра p Если $x=0$, подставим это значение в первое уравнение: $0^2+y^2=36y^2=36y_1=6,y_2=-6$. Подставим эти значения во второе уравнение при $x=0$:

1. Если $y=6$, то $6-0=pp=6$. Если $y=-6$, то $-6-0=pp=-6$.

️ Шаг 3: Проверка значения p = 6 Подставим $p=6$ во второе уравнение: $x^2=y-6$. Подставим это выражение в первое уравнение: $(y-6)+y^2=36y^2+y-42=0$. Корни квадратного уравнения: $y_1=6,y_2=-7$.

• При $y=6$: $x^2=6-6=0x=0$. Получаем 1 решение: $(0,6)$. При $y=-7$: $x^2=-7-6=-13$. Реальных корней нет.
  Следовательно, при $p=6$ система имеет только одно решение.

️ Шаг 4: Проверка значения p = -6 Подставим $p=-6$ во второе уравнение: $x^2=y+6$. Подставим это выражение в первое уравнение: $(y+6)+y^2=36y^2+y-30=0$. Корни квадратного уравнения: $y_1=-6,y_2=5$.

• При $y=-6$: $x^2=-6+6=0x=0$. Получаем 1 решение: $(0,-6)$. При $y=5$: $x^2=5+6=11x=\pm \sqrt{11}$ . Получаем 2 решения: $(\sqrt{11},5)$ и $(-\sqrt{11},5)$ .
  Итого система имеет ровно три решения.

Ответ: p = -6 Требуются ли вам дополнительные пояснения по графическому методу решения этой задачи или исследованию количества корней при других значениях $p$?