F(x)=5 корень 5 степени под корнем х в 3 степени,найти производную. f(x)=7 корень 7 степени под корнем х в 3 степени,найти производную. f(x)=7 корень 7 степени под корнем х в 6 степени,найти производную.

Производные заданных функций имеют вид: $F^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt[5]{x^2}}$ , для второй функции $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt[7]{x^4}}$ и для третьей функции $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{6}{\sqrt[7]{x}}$ . Шаг 1: Преобразование функций в степенной вид Для нахождения производной удобнее представить радикалы в виде дробной степени, используя тождество $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$ .

1. $F\left(x\right)=5x^{\frac{3}{5}}$ $f\left(x\right)=7x^{\frac{3}{7}}$ $f\left(x\right)=7x^{\frac{6}{7}}$

Шаг 2: Применение правила дифференцирования Воспользуемся правилом производной степенной функции $(c{x}^n{)}^{\prime }=c\cdot n\cdot x^{n-1}$.

1. Для первой функции: $F^{\prime }\left(x\right)=5\cdot \frac{3}{5}{x}^{\frac{3}{5}-1}=3x^{-\frac{2}{5}}$ Для второй функции: $f^{\prime }\left(x\right)=7\cdot \frac{3}{7}{x}^{\frac{3}{7}-1}=3x^{-\frac{4}{7}}$ Для третьей функции: $f^{\prime }\left(x\right)=7\cdot \frac{6}{7}{x}^{\frac{6}{7}-1}=6x^{-\frac{1}{7}}$

Шаг 3: Упрощение выражения Переведем результат обратно в форму корня, используя свойство $x^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}$ .

1. $F^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{x^{\frac{2}{5}}}=\frac{3}{\sqrt[5]{x^2}}$ $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{x^{\frac{4}{7}}}=\frac{3}{\sqrt[7]{x^4}}$ $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}=\frac{6}{\sqrt[7]{x}}$

Ответ: ${\mathbf{F}}^{\prime }\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\sqrt[\mathbf{5}]{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}}$ , ${\mathbf{f}}^{\prime }\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\sqrt[\mathbf{7}]{{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}}}$ и ${\mathbf{f}}^{\prime }\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\sqrt[\mathbf{7}]{\mathbf{x}}}$ . Нужно ли вам найти значение этих производных в конкретной точке?