Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раза больше за проведенную к ней высоту. найти острые углы прямоугольника?

Острые углы прямоугольного треугольника равны 15^\circ и 75^\circ. Шаг 1: Выражение площади через гипотенузу и высоту Пусть $c$ — гипотенуза треугольника, а $h$ — высота, опущенная на эту гипотенузу. По условию задачи гипотенуза в четыре раза больше высоты, что можно записать в виде уравнения: $c=4h⟹h=\frac{1}{4}c$ Площадь прямоугольного треугольника $S$ можно вычислить через его гипотенузу и проведенную к ней высоту по формуле: $S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}c\cdot \frac{1}{4}c=\frac{1}{8}{c}^2$ Шаг 2: Выражение площади через тригонометрические функции Обозначим один из острых углов треугольника через $\alpha$. Тогда катеты треугольника можно выразить через гипотенузу и этот угол: $a=c\sin \alpha$ и $b=c\cos \alpha$. Площадь прямоугольного треугольника также равна половине произведения его катетов: $S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\left(c\sin \alpha \right)\left(c\cos \alpha \right)=\frac{1}{2}{c}^2\sin \alpha \cos \alpha$ Используя тригонометрическую формулу двойного угла $\sin \left(2\alpha \right)=2\sin \alpha \cos \alpha$, перепишем выражение для площади: $S=\frac{1}{4}{c}^2\sin \left(2\alpha \right)$ Шаг 3: Нахождение углов Приравняем два полученных выражения для площади треугольника: $\frac{1}{8}{c}^2=\frac{1}{4}{c}^2\sin \left(2\alpha \right)$ Разделим обе части уравнения на $\frac{1}{4}{c}^2$ (так как длина гипотенузы не равна нулю): $\sin \left(2\alpha \right)=\frac{1/8}{1/4}=\frac{1}{2}$ Для острого угла треугольника значение $2\alpha$ находится в пределах от $0^{\circ }$ до ${180}^{\circ }$. Уравнение $\sin \left(2\alpha \right)=0.5$ имеет два решения в этом интервале:

1. $2\alpha ={30}^{\circ }⟹\alpha ={15}^{\circ }$ $2\alpha ={150}^{\circ }⟹\alpha ={75}^{\circ }$
   Таким образом, один острый угол равен ${15}^{\circ }$, а второй равен ${90}^{\circ }-{15}^{\circ }={75}^{\circ }$.

Ответ: Острые углы треугольника составляют 15^\circ и 75^\circ. Нужно ли вам доказательство формулы высоты через произведение катетов или помощь с другими геометрическими задачами?