Найти производную функцию . 1)f(x)3x^6+x^4/4-2x^2+5x. 2)f(x)=(2-5x)√x. 3)f(x)=x^2-8x/x+2. 4)f(x)=4/x^2-5/x^4. найти уравнение касательной к графику функции f(x)=3x^2-x^3 в точке с абсциссой x0=-2. найти производную данной функции и вычислить ее значение в данной точке x0. 1) f(x)=√6x+7,x0=3. 2)f(x)cos^4x,x0=pi/4. найти уравнение касательной к графику функции f(x)=x^2-4x-10,параллельной прямой y=-6x+7.

Для решения данных задач воспользуемся правилами дифференцирования и формулой уравнения касательной. ️ Шаг 1: Нахождение производных функций

1. Для функции $f\left(x\right)=3x^6+\frac{x^4}{4}-2x^2+5x$ применяем правило производной степени:
   $f^{\prime }\left(x\right)=3\cdot 6x^5+\frac{1}{4}\cdot 4x^3-2\cdot 2x+5=18x^5+x^3-4x+5$ Для $f\left(x\right)=(2-5x)\sqrt{x}$ раскроем скобки: $f\left(x\right)=2x^{1/2}-5x^{3/2}$.
   $f^{\prime }\left(x\right)=2\cdot \frac{1}{2}{x}^{-1/2}-5\cdot \frac{3}{2}{x}^{1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{15\sqrt{x}}{2}=\frac{2-15x}{2\sqrt{x}}$ Для $f\left(x\right)=\frac{x^2-8x}{x+2}$ используем правило частного $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ :
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{(2x-8)(x+2)-(x^2-8x)\cdot 1}{(x+2{)}^2}=\frac{2x^2+4x-8x-16-x^2+8x}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x-16}{(x+2{)}^2}$ Для $f\left(x\right)=\frac{4}{x^2}-\frac{5}{x^4}=4x^{-2}-5x^{-4}$ :
   $f^{\prime }\left(x\right)=4\left(-2\right)x^{-3}-5\left(-4\right)x^{-5}=-\frac{8}{x^3}+\frac{20}{x^5}$

️ Шаг 2: Уравнение касательной при $x_0=-2$ Функция: $f\left(x\right)=3x^2-x^3$. Уравнение касательной: $y=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$.

1. Вычислим значение функции: $f\left(-2\right)=3(-2{)}^2-(-2{)}^3=3\left(4\right)-\left(-8\right)=12+8=20$. Найдем производную: $f^{\prime }\left(x\right)=6x-3x^2$. Вычислим значение производной: $f^{\prime }\left(-2\right)=6\left(-2\right)-3(-2{)}^2=-12-12=-24$. Составим уравнение: $y=20-24(x+2)=20-24x-48=-24x-28$.

️ Шаг 3: Вычисление производной в точке

1. $f\left(x\right)=\sqrt{6x+7}$ , $x_0=3$.
   Производная сложной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{6x+7}}\cdot 6=\frac{3}{\sqrt{6x+7}}$ .
   При $x=3$: $f^{\prime }\left(3\right)=\frac{3}{\sqrt{6\cdot 3+7}}=\frac{3}{\sqrt{25}}=\frac{3}{5}=0.6$ . $f\left(x\right)={\cos }^{4}x$, $x_0=\frac{\pi }{4}$ .
   Производная: $f^{\prime }\left(x\right)=4{\cos }^{3}x\cdot (-\sin x)=-4{\cos }^{3}x\sin x$.
   При $x=\frac{\pi }{4}$ : $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-4(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-4\cdot \frac{2\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-4\cdot \frac{4}{16}=-1$ .

️ Шаг 4: Касательная, параллельная прямой $y=-6x+7$ Функция: $f\left(x\right)=x^2-4x-10$. Если касательная параллельна прямой, их угловые коэффициенты равны: $f^{\prime }\left(x_0\right)=-6$.

1. Найдем производную: $f^{\prime }\left(x\right)=2x-4$. Найдем точку касания: $2x_0-4=-62x_0=-2x_0=-1$. Значение функции в точке: $f\left(-1\right)=(-1{)}^2-4(-1)-10=1+4-10=-5$. Уравнение касательной: $y=-5-6(x+1)=-5-6x-6=-6x-11$.

Ответ:

1. Производные: 1. 18x^5 + x^3 - 4x + 5; 2. \frac{2-15x}{2\sqrt{x}}; 3. \frac{x^2+4x-16}{(x+2)^2}; 4. \frac{20}{x^5} - \frac{8}{x^3}.
2. Уравнение касательной: y = -24x - 28.
3. Значения в точках: 1. 0.6; 2. -1.
4. Параллельная касательная: y = -6x - 11.

Нужно ли построить график какой-либо из этих функций для визуализации решения?